Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Monica Lăzăruț pojawiła się w 1993 roku podczas mistrzostw świata juniorów w Harrachovie. Zajęła tam 61. miejsce w biegu na 5 km techniką klasyczną i 54. miejsce na dystansie 15 km techniką dowolną. W kolejnych latach jeszcze trzykrotnie startowała na imprezach tego cyklu, najlepszy wynik osiągając na mistrzostwach świata juniorów w Canmore w 1997 roku, gdzie zajęła 39. pozycję w biegu na 15 km stylem dowolnym. W Pucharze Świata zadebiutowała 9 stycznia 1999 roku w Novym Měscie, zajmując 65. miejsce w biegu na 10 km stylem klasycznym. Lăzăruț nigdy jednak nie zdobyła punktów Pucharu Świata i nie była uwzględniana w klasyfikacji generalnej. W 1998 roku wzięła udział w igrzyskach olimpijskich w Nagano, gdzie w swoim najlepszym występie, biegu na 30 km stylem dowolnym zajęła 34. pozycję. Wystąpiła także na rozgrywanych rok później mistrzostwach świata w Ramsau oraz mistrzostwach świata w Lahti w 2001 roku, na tej drugiej imprezie zajmując między innymi 32. miejsce w sprincie stylem dowolnym. Startowała ponadto w cyklu FIS Marathon Cup, zajmując między innymi trzecie miejsce w klasyfikacji generalnej sezonu 2002/2003. Wyprzedziły ją jedynie WłoszkaLara Peyrot oraz RosjankaSwietłana Frizen. Lăzăruț pięciokrotnie stawała na podium maratonów, ale nigdy nie zwyciężyła. W 2003 roku zakończyła karierę.