Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu[1][2]. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy II zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:
![{\displaystyle m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}},{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}},t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27ad657011451be7daf01375a4884f3b89317f0)
gdzie funkcja wektorowa
jest siłą działającą na ciało w chwili
w punkcie przestrzeni wyznaczonym przez wektor wodzący
Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego potencjału pola sił.
Jeżeli prawa strona jest funkcją ciągłą, to przez punkt w przestrzeni wyznaczony przy zadanych warunkach brzegowych (położenie i prędkość w danej chwili) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Jeżeli istniałaby istota, która w danej chwili poznałaby położenie i pęd wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie, to zgodnie z prawami mechaniki klasycznej mogłaby poznać prawą stronę powyższego równania i jednoznacznie wyznaczyć tor ruchu każdej z cząstek. Innymi słowy istota ta znałaby przeszłość i przyszłość wszechświata.
Dowolne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]
Niech współrzędne krzywoliniowe
tworzą układ współrzędnych w przestrzeni
Oznaczmy przez
wersory kierunków stycznych do osi tego układu[2].
Jeżeli
jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami:
Ponieważ
zatem
(1)
Na podstawie wzoru dla prędkości
mamy
(2)
i dzięki temu
Mamy również
(3)
oraz
(4)
Z porównania prawych stron (3) i (4) wynika, że
Mamy zatem
(5)
Po podstawieniu (2) i (5) do (1) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów wektora przyspieszenia na osie krzywoliniowego układu współrzędnych
Podstawowe równanie dynamiki[edytuj | edytuj kod]
Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie
ma postać
![{\displaystyle m{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043cc2bc573a870e49ed6f5b57a1dede59101d96)
i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich
![{\displaystyle m{\ddot {x}}=F_{x},\quad m{\ddot {y}}=F_{y},\quad m{\ddot {z}}=F_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d48661103da10a85dfdcb9c576b61d7e173024)
W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych otrzymujemy[2]
![{\displaystyle {\frac {m}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right]=F_{i},\quad i=1,2,3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eab9ee3b0e2f3963d4ff4631592b80180e05a7)
gdzie
jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych
wypadkowej
sił działających na punkt materialny, a
prędkością tego punktu.
- ↑ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретическоой механики, t.I, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва 1954
- ↑ a b c G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960