Równanie różniczkowe Laplace’a
Równanie różniczkowe Laplace’a – równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci[1]:
gdzie funkcja jest klasy Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:
Alternatywne zapisy równania to:
czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:
- gdzie to operator nabla.
Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.
Interpretacja fizyczna[edytuj | edytuj kod]
Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.
Równanie Laplace’a występuje m.in. [2]:
- w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
- w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
- w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
- w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
- w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.
Interpretacja matematyczna[edytuj | edytuj kod]
Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.
Rozwiązania[edytuj | edytuj kod]
Wzór Poissona dla półprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]
Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni spełniającym na brzegu dla warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Wzór Poissona dla kuli[edytuj | edytuj kod]
Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli spełniającym na (hiper-)sferze warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Laplace’a równanie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-06] .
- ↑ Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 121.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. Wyd. III. T. II. Cz. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.
Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]
- Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Laplace equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].