Własność Kadieca

Własność Kadieca (własność Kadieca-Klee) – własność normy w przestrzeniach Banacha. Norma w przestrzeni Banacha X ma własność Kadieca (albo jest normą Kadieca), gdy topologie na sferze jednostkowej

$\{x\in X\colon \,\|x\|=1\},$

dziedziczone odpowiednio z topologii wyznaczonej przez normę oraz topologii słabej w $X$ pokrywają się. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematków Michaiła Kadieca i Victora Klee.

Czasami użyteczne może być studiowanie pewnych własności normy w przestrzeni sprzężonej $X^{*}$ do danej przestrzeni Banacha X. Wprowadza się w związku z tym następujące definicje:

1. Norma w $X^{*}$ ma własność w*-Kadieca, gdy każdy ciąg uogólniony $(x_{\alpha }^{*})$ punktów przestrzeni $X^{*}$ *-słabo zbieżny do $x_{0}^{*}\in X^{*}$ w ten sposób, że $\|x_{\alpha }^{*}\|\to \|x_{0}^{*}\|,$ jest również zbieżny w sensie normy.
2. Norma w $X^{*}$ ma ciągową własność w*-Kadieca, gdy w powyższej definicji słowo ciąg uogólniony zastąpić słowem ciąg.
3. Norma w $X^{*}$ ma własność w*-τ-Kadieca (ciągową własność w*-τ-Kadieca), gdy w definicji 1. zastąpić zbieżność ciągu uogólnionego $(x_{\alpha })$ w sensie normy zbieżnością w sensie topologii Mackeya (i ciąg uogólniony, ciągiem).

Pojęcia zdefiniowane w punkcie 3. są istotnie różne. Odpowiedni kontrprzykład został podany w przypadku niestandardowej normy w przestrzeni $\ell ^{\infty }.$

Własności

Niech X będzie przestrzenią Banacha.

• Jeśli w przestrzeni X $(X^{*})$ istnieje norma Kadieca równoważna wyjściowej normie, to rodziny zbiorów borelowskich wyznaczonych przez zbiory otwarte i słabo otwarte (*-słabo otwarte) pokrywają się.
• Jeśli w przestrzeni X istnieje norma Kadieca równoważna wyjściowej normie, to X jest borelowskim podzbiorem przestrzeni $X^{**}$ (X utożsamiamy ze swoim obrazem poprzez odwzorowanie kanoniczne w $X^{**}$ – por. przestrzeń refleksywna).
• Następujące warunki są parami równoważne:
  1. Norma w $X^{*}$ ma własność w*-Kadieca.
  2. Dla każdej ośrodkowej podprzestrzeni liniowej $Y\subseteq X$ norma w $Y^{*}$ ma ciągową własność w*-Kadieca.
  3. Dla każdej ośrodkowej podprzestrzeni liniowej $Y\subseteq X$ zbieżność w sensie Wijsmana ciągu punktów przestrzeni $Y$ pociąga zbieżność w sensie Mosco.
  4. W każdej podprzestrzeni liniowej przestrzeni X topologia Wijsmana pokrywa się z topologią Mosco.