Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Całkowa nierówność Jensena jest użyteczną i bardzo ogólną relacją dotyczącą funkcji wypukłych , matematyka Johana Jensena , którego dowód podał w 1906 roku. Można go zapisać na dwa sposoby: dyskretny lub całkowy . Pojawia się w szczególności w analizie, teorii pomiaru i prawdopodobieństwie (twierdzenie Rao-Blackwella ), ale także w fizyce statystycznej , mechanice kwantowej i teorii informacji (pod nazwą nierówność Gibbsa ).
Niech
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
będzie funkcją wypukłą ,
U
⊂
R
n
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
będzie zbiorem o dodatniej mierze , oraz
u
:
U
→
R
{\displaystyle u:U\to \mathbb {R} }
będzie funkcją całkowalną. Niech
|
U
|
{\displaystyle |U|}
oznacza miarę zbioru
U
.
{\displaystyle U.}
Wówczas zachodzi nierówność:
1
|
U
|
∫
U
f
(
u
)
d
x
⩾
f
(
1
|
U
|
∫
U
u
d
x
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}f(u)\,dx\geqslant f\left({\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}u\,dx\right).}
Ponieważ
f
{\displaystyle f}
jest funkcją wypukłą, to na mocy twierdzenia o hiperpłaszczyźnie podpierającej :
∀
p
∈
R
∃
r
∈
R
∀
q
∈
R
:
f
(
q
)
⩾
f
(
p
)
+
r
(
q
−
p
)
.
{\displaystyle \forall _{p\in \mathbb {R} }\exists _{r\in \mathbb {R} }\forall _{q\in \mathbb {R} }:f(q)\geqslant f(p)+r(q-p).}
(1)
Zatem podstawiając
p
=
1
|
U
|
∫
U
u
d
x
=
u
(
ξ
)
{\displaystyle p={\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}u\,dx=u(\xi )}
oraz
q
=
u
(
x
)
{\displaystyle q=u(x)}
nierówność w zdaniu (1) przekształca się do postaci:
f
(
u
)
⩾
f
(
u
(
ξ
)
)
+
r
(
u
−
u
(
ξ
)
)
.
{\displaystyle f(u)\geqslant f(u(\xi ))+r(u-u(\xi )).}
Następnie całkując stronami względem
x
{\displaystyle x}
po zbiorze
U
{\displaystyle U}
i na mocy zależności
∫
U
d
x
=
|
U
|
{\displaystyle \int \limits _{U}\,dx=|U|}
oraz
∫
U
u
d
x
=
|
U
|
u
(
ξ
)
:
{\displaystyle \int \limits _{U}u\,dx=|U|u(\xi ){:}}
∫
U
f
(
u
)
d
x
⩾
∫
U
f
(
u
(
ξ
)
)
d
x
+
r
∫
U
u
d
x
−
r
∫
U
u
(
ξ
)
d
x
=
f
(
u
(
ξ
)
)
|
U
|
+
r
|
U
|
u
(
ξ
)
−
r
|
U
|
u
(
ξ
)
=
f
(
1
|
U
|
∫
U
u
d
x
)
|
U
|
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{U}f(u)\,dx\\[1ex]\geqslant {}&\int \limits _{U}f(u(\xi ))\,dx+r\int \limits _{U}u\,dx-r\int \limits _{U}u(\xi )\,dx\\[1ex]={}&f(u(\xi ))|U|+r|U|u(\xi )-r|U|u(\xi )\\[1ex]={}&f\left({\frac {1}{|U|}}\int \limits _{U}u\,dx\right)|U|\end{aligned}}}
Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations , American Mathematical Society, 2010.