Dekompozycja Kalmana – termin używany w teorii sterowania na określenie konwersji realizacji stacjonarnego liniowego układu regulacji do postaci, w której układ ujawnia części obserwowalną i sterowalną co pozwala na wyciągnięcie wniosków odnośnie do osiągalnych i obserwowalnych podprzestrzeni dla danego układu.
Wyprowadzenie przebiega tak samo zarówno dla (stacjonarnych) układów czasu ciągłego, jak i układów dyskretnych. Niech dany będzie liniowy, stacjonarny układ ciągły opisany równaniami stanu:
![{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724a97222305fd1170fcea573229ad790a1f7fb7)
![{\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6884179897a21783c22a3ec0383f535256ede6ab)
Układ taki można opisać za pomocą krotki czterech macierzy
Niech rząd systemu wynosi
Wówczas dekompozycja Kalmana zdefiniowana jest jako transformacja krotki
do postaci
w następujący sposób:
![{\displaystyle {\hat {A}}=T^{-1}AT,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bf14a397ac2cc016e54ff00b98515d2b674c85)
![{\displaystyle {\hat {B}}=T^{-1}B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4833b74f9c1435281667465300db22291c6309f4)
![{\displaystyle {\hat {C}}=CT,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b738ed330a82ad247fa347553d6073d2bc26242)
![{\displaystyle {\hat {D}}=D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374cc5baefdce58fc62b4e02c6672c09f2311533)
jest macierzą odwrotną o rozmiarach
zdefiniowaną jako:
![{\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0b9525d2c7cd3bc499ad0df8e0d86796b8a410)
gdzie:
– macierz, której kolumny rozpięte są w podprzestrzeni stanów, które są zarówno osiągalne, jak i nieobserwowalne;
– jest tak dobrana, że kolumny
stanowią bazę dla podprzestrzeni osiągalnej;
– jest tak dobrana, że kolumny
stanowią bazę dla podprzestrzeni nieobserwowalnej;
– jest tak dobrana, że macierz
jest odwrotna.
Można zauważyć, że niektóre z tych macierzy mogą mieć wymiar równy zero. Na przykład jeśli system jest zarówno obserwowalny, jak i sterowalny, wówczas
co sprawia, że inne macierze mają wymiar zerowy.
Korzystając z wyników dla sterowalności i obserwowalności, można pokazać, że układ po transformacji
ma macierze o następującej postaci:
![{\displaystyle {\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab940501a3a683d2911fae0ade7d693699ca872d)
![{\displaystyle {\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31224c9c9a2d2bd9e9c15f758fa4ae7adada1e84)
![{\displaystyle {\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a53d3e6f5e2ec1f24e1c3fb8ccdab3c0ae86f9a)
![{\displaystyle {\hat {D}}=D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a270697fb385220423bc856d002a4091b0a09c)
Prowadzi to do wniosku, że:
- Podukład
jest zarówno osiągalny, jak i obserwowalny.
- Podukład
jest osiągalny.
- Podukład
jest obserwowalny.