Diagram Cichonia – diagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire’a
(tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).
Nazwę diagramowi nadał brytyjski matematyk Dawid Fremlin[1], dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[2]
Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów „małych”[4].
Niech
będzie ideałem podzbiorów
do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału
następująco:
- (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nie należący do ideału?”)
- (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?”)
- (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?”)
- (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?”)
Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):
![{\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917108b82aa1322bceb7475f7831e32425c01d0a)
![{\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74e0113a66b5f58830e045a6a41578fa3d93a2d)
gdzie „
” oznacza „istnieje nieskończenie wiele takich
że” oraz „
” oznacza „dla wszystkich, oprócz skończenie wielu
mamy, że”.
Niech
będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire’a, oraz niech
oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue’a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka „
” zastępuje znak nierówności „
”:
|
|
![{\displaystyle \mathrm {cov} ({\mathcal {L}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2933aee493b3419323e04cdf2ad65e1404a5a818) |
|
![{\displaystyle \mathrm {non} ({\mathcal {K}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa76ec738fa2e110fdf1c38f7bf13b5ce8c6bb39) |
|
![{\displaystyle \mathrm {cof} ({\mathcal {K}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e3074093dd20142112f0ef19efab3011392489) |
|
![{\displaystyle \mathrm {cof} ({\mathcal {L}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9415667173d7ff9a426003e6468643baa142f85) |
![{\displaystyle \longrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffb6a294b21bebe64570c4088d77a884dec95ab) |
|
|
|
![{\displaystyle {\Bigg \uparrow }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c86c3cee8a7a6fd3032f28f884985700c4cab1f) |
|
![{\displaystyle \uparrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb20b28c74cdaa09e1f101d426441da1996072f) |
|
![{\displaystyle \uparrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb20b28c74cdaa09e1f101d426441da1996072f) |
|
|
|
|
|
![{\displaystyle {\mathfrak {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47431c0c547b479e2cb895f75e15aefdb16bfd80) |
|
|
|
|
|
![{\displaystyle \uparrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb20b28c74cdaa09e1f101d426441da1996072f) |
|
|
![{\displaystyle \aleph _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c211ce8badf4ffbf9417ecceb0ef7ab0a8caed) |
|
![{\displaystyle \mathrm {add} ({\mathcal {L}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc813454a7d78e3c1e9ba6bd47f66d19956ad0b) |
|
![{\displaystyle \mathrm {add} ({\mathcal {K}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1952e8ac5a86f2eb3afe650d275420a8dd6c50) |
|
![{\displaystyle \mathrm {cov} ({\mathcal {K}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0573405a1d7c7b933660f50fc31964a0022e75e3) |
|
|
Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:
oraz
![{\displaystyle \mathrm {cof} ({\mathcal {K}})=\max\{\mathrm {non} ({\mathcal {K}}),{\mathfrak {d}}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb8ef09443be03165f0e19f4f31025df25e543e)
Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości
i
w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że
(a więc i pozostałe współczynniki są równe
), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe
- ↑ David H. Fremlin: Cichon’s diagram, „Publ. Math. Univ. Pierre Marie Curie” 66, Sémin. Initiation Anal. 23ème Année-1983/84, Exp. No.5, 13 p. (1984). Zbl 0559.03029.
- ↑ Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line.A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X.
- ↑ Janusz Pawlikowski: Why Solovay real produces Cohen real, „J. Symbolic Logic” 51 (1986), s. 957–968.
- ↑ Janusz Pawlikowski, Ireneusz Recław: Parametrized Cichoń’s diagram and small sets, „Fundamenta Mathematicae” 147 (1995), s. 135–155.