Hesjan obrzeżony – jest macierzą kwadratową złożoną z pochodnych cząstkowych, która używana jest do rozwiązywania problemu ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.
Pod względem technicznym jest to macierz Hessego poszerzona o dodatkowy wiersz i dodatkową kolumnę.
Mamy daną funkcję:
W celu znalezienia lokalnych ekstremów warunkowych możemy skorzystać z funkcji Lagrange’a:
Warunek przekształcamy do postaci
![{\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192f6d6c6761c11c4c8949dd9d1a9d3bb0288e4a)
Następnie tworzymy funkcję
![{\displaystyle L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\lambda )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+\lambda \cdot g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de18a204d2abf77108f5bae595b70278d5360ceb)
Wtedy hesjan obrzeżony przyjmuje postać:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\[1ex]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\\[1ex]\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac0c79e4c369d1b8b5b123310e59251cc6e64a7)
Definiujemy
dla ![{\displaystyle k=2,3,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf66569ee0f433d83ca77c7a9b9ad877ed9ec3aa)
Uwaga:
jest wyznacznikiem podmacierzy o rozmiarach
Wtedy, jeśli w danym punkcie
jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego
prawdziwe są twierdzenia:
Jeśli
to funkcja przyjmuje minimum warunkowe w punkcie
Jeśli
[1], to funkcja przyjmuje maksimum warunkowe w punkcie
W przypadku funkcji dwóch zmiennych
wystarczy obliczyć wartość jednego wyznacznika:
![{\displaystyle H={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial g}{\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial y^{2}}}\\[1ex]\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1ce21db930da4d581b0f4a544e2a1a86ccdb61)
- Funkcja
przyjmuje lokalne maksimum warunkowe w punkcie
gdy ![{\displaystyle H(x_{0},y_{0};\lambda )>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa7f58882333c74d0ddc034ccfa0458673dedb3)
- Funkcja
przyjmuje lokalne minimum warunkowe w punkcie
gdy ![{\displaystyle H(x_{0},y_{0};\lambda )<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d140ac1ab5c5e4e63dbf6bea3829eddc444593bd)
- Sytuacja nie jest rozstrzygnięta, gdy
Należy wtedy badać istnienie ekstremum innymi metodami.