Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
i
– przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni
i
traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.
Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]
Iloczynem tensorowym
przestrzeni Hilberta
i
nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:
(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów
![{\displaystyle \{e_{1}\otimes e_{2}\colon \,\,e_{1}\in {\mathcal {E}}_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}_{2}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59be2e01b90b2c18eb8e76be094f2322603348f)
gdzie:
i
– bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni
i ![{\displaystyle {\mathcal {H}}_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd7ccfdaecea92bc3db0e83c4d1674bcf13ae5)
– Iloczyn Kroneckera wektorów baz
i ![{\displaystyle e_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972280bf9a229689d36f47d1e6c7640113c78ab0)
(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:
jeżeli
i
są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio,
i
to iloczyn skalarny w przestrzeni
definiuje wzór
![{\displaystyle \langle \phi _{1}\otimes \phi _{2}|\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1}|\psi _{1}\rangle _{1}\,\langle \phi _{2}|\psi _{2}\rangle _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e76a46bd6e6977a2d235efb9b21e8324ca2f5d)
gdzie:
![{\displaystyle \phi _{1},\psi _{1}\in {\mathcal {H}}_{1},\,\,\,\phi _{2},\psi _{2}\in {\mathcal {H}}_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7ae549616162a444991b36543ba69f11b60be0)
Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
typ iloczynu wynika z kontekstu:
- przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej;
- iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią unitarną.
(1) Iloczyn tensorowy
jest przestrzenią Hilberta
o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni
i
(2) W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego wektorów składowych
takich że
i
ale które są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj.
Przykłady takich wektorów podano w Przykładzie 2.
Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowych[edytuj | edytuj kod]
Rozważmy dwie przestrzenie Hilberta (w przedstawionych przykładach do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca):
z bazą ![{\displaystyle \{|0\rangle _{1},|1\rangle _{1}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600f2a0fd34cb550eca81dda71b3b87f77a2f76a)
z bazą ![{\displaystyle \{|0\rangle _{2},|1\rangle _{2}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c87a0eac4b7366e81a699ef8410d48285e16e39)
Iloczyn tensorowy
tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta
o wymiarze równym
przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni
przez wektory bazowe przestrzeni
![{\displaystyle \{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e393a6ec2bbf423228700a43688d8eefa9a35dd3)
Jeżeli wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako ortonormalne kety
![{\displaystyle |1\rangle _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e422af4570ce6171381159220bebfb51952be6)
oraz
![{\displaystyle |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22ec6fb57d739680146e5d1af3dcb56abce3c61)
wówczas ich iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) to:
![{\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\\0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f186c53de7c3db0ef53227a50dcb066e20e2d0)
![{\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\\0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b454c62c3f36bf61de9339d8d937dd00f97a6fd2)
![{\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\\1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b207cd3b4731fee07de65ce255e459c861909be)
![{\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\\1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9539f47eb3ada0a610772c1b7eff336cece93a1)
Widać, że iloczyny tensorowe ketów
i
(tj. wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych) tworzą kety o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta
Iloczyny tensorowe wektorów bra bazy (reprezentowane przez wektory wierszowe) utworzyłyby oczywiście wektory bra o 4 współrzędnych. Gdyby natomiast wektory bazy przestrzeni
zapisać w postaci wektorów ket (kolumnowych), a wektory bazy przestrzeni
w postaci wektorów bra (wierszowych), to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni
miałby postać macierzy 2 × 2. Jeżeli np. wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako kety:
![{\displaystyle |1\rangle _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e422af4570ce6171381159220bebfb51952be6)
oraz bra
![{\displaystyle \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}}_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b237ceb3ac5fc572b8144752ee80bf19d63a14)
wtedy otrzymamy iloczyny diadyczne (zwane również iloczynami zewnętrznymi):
![{\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c041b1eb8bb4e8d713e2f595502c58373f6e496)
![{\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327abe06269c6bda8fff996558fcd0a41093973f)
![{\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f4f1b1c99e9904c0a5dc8b4522e2f7397526c9)
![{\displaystyle |1\rangle _{1}\otimes \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609d12db6f504a91e73ba0d366c6f0e9f02f30f8)
Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.
Przykład 2: Stan splątany 2 cząstek[edytuj | edytuj kod]
Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisane stanami:
![{\displaystyle |\psi \rangle _{1}=a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb9c4fa6dfba3aa5185c63777304e22bb54f368)
![{\displaystyle |\phi \rangle _{2}=c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6512b90ebac722bffa2a91bd1fc4b644e08970)
Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta
i
ponieważ dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:
![{\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=(a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1})\otimes (c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e455c3d0f431054123c491ae77e6b58cceef68ac)
czyli (pomijając symbol iloczynu tensorowego po prawej stronie równania):
![{\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=ac\,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+ad\,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+bc\,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+bd\,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bf56e8dc813940b4340ac208fc1fd393b625e4)
Jednak najbardziej ogólny stan powyższych cząstek zwany stanem splątanym, nie da się sprowadzić do powyższego iloczynu tensorowego. Ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.
![{\displaystyle |\xi \rangle _{12}=\alpha \,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+\beta \,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+\gamma \,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+\delta \,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2229af1858d5e2f74d644b135707d1e35dd04e1d)
gdzie:
lub
lub
lub
zachowując jednak warunek normalizacji tj. ![{\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}+|\gamma |^{2}+|\delta |^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f233fb84e18b9eb6d3f28ae9a4208ff158d4e1)
Na przykład dla stanów stanowiących równomierną superpozycję standardowych wektorów bazowych (stany takie można otrzymać za pomocą unitarnej transformacji Hadamarda):
![{\displaystyle |-\rangle _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{2}-|1\rangle _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdaa5267d3ee04ea70225dc0f7fea062d196a61)
iloczyn tensorowy ma postać:
![{\displaystyle |+\rangle _{1}\otimes |-\rangle _{2}={\frac {1}{2}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9c4131ac14f708acffbf3b7fd07dce1cf02a55)
natomiast stan splątany może mieć dowolne (znormalizowane) współczynniki, np.:
![{\displaystyle |\xi \rangle _{12}=i{\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+{\frac {1+i}{\sqrt {12}}}|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+{\sqrt {\frac {6}{12}}}|1\rangle _{1}|1\rangle _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3ae6381097cfcf34df04b2f6e0c91035b17e48)
(gdzie
). W sensie matematycznym stany kwantowe stanowią surjektywną izometrię wektorów bazowych; stan kwantowy może nie zawierać wszystkich wektorów bazowych, jednak musi być znormalizowany. Cztery poniższe stany splątane zwane „stanami Bell’a” tworzą na przykład maksymalnie splątaną bazę czterowymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch kubitów:
![{\displaystyle |\phi ^{+}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55350004e10072edaf3f161beaf2c0c3fef48fbd)
![{\displaystyle |\phi ^{-}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7492ab375e0b9a57e873778204a1883b24d2e0)
![{\displaystyle |\psi ^{+}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8614f864a9450ca849fdf661de13ce66ae0a4e0)
![{\displaystyle |\psi ^{-}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e47d67e0039c65cc747baa750151ff298a4b249)
Stany splątane należą do iloczynu tensorowego
przestrzeni Hilberta
i
jednak nie da się ich otrzymać poprzez tensorowe mnożenie stanu należącego do przestrzeni
i stanu należącego do przestrzeni
Stany splątane są więc stanami szczególnymi. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w komputerach kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.
Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnego[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli dane są dwa stany
i
należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta
i
takie że
![{\displaystyle |\psi \rangle _{1}=a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb9c4fa6dfba3aa5185c63777304e22bb54f368)
![{\displaystyle |\phi \rangle _{2}=c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddf8767ec2329da40dee65b14b552fc9e6f675d)
to ich iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):
![{\displaystyle |\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=ac\,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+ad\,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+bc\,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+bd\,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bf56e8dc813940b4340ac208fc1fd393b625e4)
Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta
lub
tj.:
![{\displaystyle \langle \psi |_{1}\otimes \langle \phi |_{2}|\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=\langle \psi |\psi \rangle _{1}\otimes \langle \phi |\phi \rangle _{2}=\ldots =(|a|^{2}+|b|^{2})(|c|^{2}+|d|^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8c01ef054f19e326847622907bc869ff4010db)
Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L²[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli
i
są miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego
![{\displaystyle L^{2}(\mu )\otimes L^{2}(\nu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1de7d35561cbbb17926f4ada16e510d0bb8b3ec)
na przestrzeń
![{\displaystyle L^{2}(\mu \otimes \nu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1c038e0f07d694fd0eab3d75b1a09595c499d3)
że
Symbol
oznacza miarę produktową miar
i
W przypadku, gdy zbiór
jest dowolnym zbiorem oraz
jest miarą liczącą na
to
![{\displaystyle L^{2}(\mu )=\ell ^{2}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164f487fb2907b222f004868335a9f5c133cc4d3)
Jeżeli zbiór
jest nieprzeliczalny, to miara
nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów
lub
jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy
![{\displaystyle \ell ^{2}(A)\otimes \ell ^{2}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0242c0825fa4aa9b4f543a7183128fc0aca6c4)
jest izometryczny z przestrzenią
![{\displaystyle \ell ^{2}(A\times B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc4c3128c8086e5bbc17bafc0c47a51858810a8c)
- Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47–49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.).
- Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 978-0-521-56128-0. (ang.).
- Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 978-0-12-585050-6. (ang.).
- Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
- Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.