Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Obraz trójkąta
A
B
C
{\displaystyle ABC}
w jednokładności o środku
O
{\displaystyle O}
i skali 5/3
J
O
5
3
(
△
A
B
C
)
=
△
A
1
B
1
C
1
{\displaystyle J_{O}^{\frac {5}{3}}(\triangle ABC)=\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}
Jednokładność , homotetia [1] (gr. ὁμοίως + θέσεις = pokrewieństwo) o środku
r
{\displaystyle r}
i niezerowej skali
k
{\displaystyle k}
– odwzorowanie geometryczne prostej , płaszczyzny lub przestrzeni , określone następująco:
J
r
k
(
p
)
=
q
gdzie
r
q
→
=
k
⋅
r
p
→
.
{\displaystyle J_{r}^{k}(p)=q\quad {\mbox{ gdzie }}{\vec {rq}}=k\cdot {\vec {rp}}.}
Z definicji w szczególności wynika, że:
J
r
k
(
r
)
=
r
.
{\displaystyle J_{r}^{k}(r)=r.}
Liczba
k
{\displaystyle k}
nazywana jest także stosunkiem jednokładności.
Dla
k
=
1
{\displaystyle k=1}
jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym , dla
k
=
−
1
{\displaystyle k=-1}
jednokładność jest symetrią środkową o środku
r
.
{\displaystyle r.}
Każda jednokładność jest podobieństwem o skali
|
k
|
.
{\displaystyle |k|.}
Dwie figury
F
a
{\displaystyle F_{a}}
i
F
b
{\displaystyle F_{b}}
są jednokładne, gdy istnieje punkt
r
{\displaystyle r}
i niezerowa skala
k
{\displaystyle k}
takie, że jednokładność przekształca figurę
F
a
{\displaystyle F_{a}}
na figurę
F
b
.
{\displaystyle F_{b}.}
Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności[2] .
Zbiór jednokładności o wspólnym środku
r
{\displaystyle r}
jest grupą, przy tym
złożenie jednokładności
J
r
l
∘
J
r
k
{\displaystyle J_{r}^{l}\circ J_{r}^{k}}
jest jednokładnością
J
r
l
⋅
k
,
{\displaystyle J_{r}^{l\cdot k},}
jednokładnością odwrotną do
J
r
k
{\displaystyle J_{r}^{k}}
jest
J
r
1
/
k
,
{\displaystyle J_{r}^{1/k},}
jednością grupy jest tożsamość
J
r
1
.
{\displaystyle J_{r}^{1}.}
W przypadku złożenia dwóch jednokładności
J
s
l
,
J
r
k
{\displaystyle J_{s}^{l},J_{r}^{k}}
o dowolnych środkach zachodzą dwie możliwości:
jeśli
k
⋅
l
=
1
,
{\displaystyle k\cdot l=1,}
to
J
s
l
∘
J
r
k
{\displaystyle J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}}
jest translacją
T
(
1
−
l
)
r
s
→
{\displaystyle T_{(1-l){\vec {rs}}}}
tzn. translacją o wektor
(
1
−
l
)
r
s
→
,
{\displaystyle (1-l){\vec {rs}},}
jeśli
k
⋅
l
≠
1
,
{\displaystyle k\cdot l\neq 1,}
to
J
s
l
∘
J
r
k
{\displaystyle J_{s}^{l}\circ J_{r}^{k}}
jest jednokładnością
J
r
+
1
−
l
1
−
k
l
r
s
→
k
⋅
l
.
{\displaystyle J_{r+{\tfrac {1-l}{1-kl}}{\vec {rs}}}^{k\cdot l}.}
Ponadto dla jednokładności
J
r
k
,
k
≠
1
{\displaystyle J_{r}^{k},k\neq 1}
i translacji
T
v
{\displaystyle T_{\mathbf {v} }}
o wektor
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
zachodzi:
złożenie
J
r
k
∘
T
v
{\displaystyle J_{r}^{k}\circ T_{\mathbf {v} }}
jest jednokładnością
J
r
+
k
1
−
k
v
k
,
{\displaystyle J_{r+{\tfrac {k}{1-k}}\mathbf {v} }^{k},}
złożenie
T
v
∘
J
r
k
{\displaystyle T_{\mathbf {v} }\circ J_{r}^{k}}
jest jednokładnością
J
r
+
1
1
−
k
v
k
.
{\displaystyle J_{r+{\tfrac {1}{1-k}}\mathbf {v} }^{k}.}
Oznacza to, że zbiór jednokładności wraz ze zbiorem translacji tworzy grupę przekształceń geometrycznych. Jest ona izomorficzna z grupą dylatacji .
Marek Kordos , Lesław W. Szczerba: Geometria dla nauczycieli . 1976.