Krzywa regularna – krzywa kawałkami gładka.
- Parę uporządkowaną
gdzie
nazywamy krzywą regularną, gdy
jest funkcją ciągłą oraz istnieje skończony układ punktów
takich, że
i
ma w każdym punkcie przedziału
ciągłą pochodną. Punkty
nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej
zbiór
jej podkładem lub nośnikiem, a funkcję
parametryzacją.
- Krzywa
jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy
jest łukiem regularnym i koniec
jest identyczny z początkiem
Jeżeli dodatkowo koniec
równa się początkowi
to krzywą
nazywamy krzywą regularną zamkniętą.
Równoważność krzywych regularnych[edytuj | edytuj kod]
Niech
będą krzywymi regularnymi o parametryzacjach odpowiednio
Krzywe
są krzywymi równoważnymi, gdy istnieje surjekcja rosnąca (i tym samym ciągła)
oraz układ punktów
taki że dla każdego
funkcja
ma dodatnią ciągłą pochodną i
Operacje na krzywych regularnych[edytuj | edytuj kod]
Niech
będzie krzywą regularną o parametryzacji
Krzywą o opisie parametrycznym
danym wzorem
dla
nazywamy krzywą przeciwną do
i oznaczamy
Niech
będą odpowiednio opisami parametrycznymi krzywych
Jeśli
to krzywą o opisie parametrycznym
danym wzorem
![{\displaystyle \gamma (t)={\begin{cases}\gamma _{1}(t)&{\text{dla }}t\in [\alpha _{1},\beta _{1}]\\\gamma _{2}(t-\beta _{1}+\alpha _{2})&{\text{dla }}t\in [\beta _{1},\beta _{1}+\beta _{2}-\alpha _{2}]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91b2e129e0d1bf366291f708ff3e29c7723d225)
nazywamy sumą tych krzywych i oznaczamy
- Niech
Odcinkiem zorientowanym o początku w punkcie
i końcu w punkcie
nazywamy krzywą o opisie parametrycznym
danym wzorem
![{\displaystyle t\in [0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafa089d991504bb539141c6221e17f79d06d7b8)
- Dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie
i promieniu
nazywamy krzywą o opisie parametrycznym
danym wzorem
![{\displaystyle t\in [0,2\pi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66bc04b5ae0592aa1ced08b531513077c236ee2)
- Niech dany będzie skończony ciąg punktów
Łamaną zorientowaną o początku w punkcie
i końcu w punkcie
nazywamy krzywą
gdzie
jest odcinkiem zorientowanym o początku w
i końcu w ![{\displaystyle z_{k+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c660c501783aa62cc280b17bd789a9423fe0ad5)