Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos – wydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy statystycznej. W praktyce definiuje się ją najczęściej w formie tzw. kurtozy nadwyżkowej (nazywanej ekscesem lub współczynnikiem ekscesu, ang. excess kurtosis)[1]:
![{\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be49547f123dd72167b1724c506539facbac0f93)
gdzie:
– czwarty moment centralny,
– odchylenie standardowe.
Klasyczny współczynnik kurtozy definiowany jest jako standaryzowany moment centralny czwartego rzędu:
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{\left(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\right)^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71d0cb8b7f3060684b0e473f03300dd6e0ff3f5)
Kurtoza nadwyżkowa (inaczej współczynnik ekscesu lub po prostu eksces:
) jest jednak wygodniejsza, gdyż:
- kurtoza nadwyżkowa rozkładu normalnego wynosi 0,
- jeśli
jest sumą
niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej
zachodzi własność: ![{\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}[Y]={\mbox{Kurt}}_{E}[X]/n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7430ebd5623fbdf5da2f2111a0b3a974535fa4)
Wbrew stwierdzeniom obecnym w niektórych podręcznikach, kurtoza nie mierzy „spłaszczenia”, „wysmukłości” ani „spiczastości” rozkładu. Na kurtozę ma wpływ intensywność występowania wartości skrajnych, mierzy więc ona, co się dzieje w „ogonach” rozkładu, natomiast kształt „czubka” rozkładu jest praktycznie bez znaczenia[1][2].
Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:
- mezokurtyczne (KurtE = 0) – wartość kurtozy nadwyżkowej wynosi 0, intensywność wartości skrajnych jest podobna do intensywności wartości skrajnych rozkładu normalnego (dla którego kurtoza nadwyżkowa wynosi dokładnie 0),
- leptokurtyczne (KurtE > 0) – kurtoza nadwyżkowa jest dodatnia, intensywność wartości skrajnych jest większa niż dla rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „grubsze”),
- platykurtyczne (KurtE < 0) – kurtoza nadwyżkowa jest ujemna, intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w przypadku rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „węższe”).
Kurtoza nadwyżkowa z próby wyraża się wzorem:
![{\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {{\frac {1}{n}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{4}}}{\sigma ^{4}}}-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5140d10a0644b0ba4a0b31f740807ecc01bf580)
gdzie:
–
-ta wartość cechy,
– wartość oczekiwana w populacji,
– odchylenie standardowe w populacji,
– liczebność próby.
Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy nadwyżkowej z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:
![{\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s}}\right)^{4}-{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f9e92dba6b281df8b427defe57285c1ad881d2)
gdzie:
– średnia z próby,
– odchylenie standardowe z próby,
– kolejne wartości cechy,
– liczebność próby.
Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]
Niech:
![{\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9465a7d96e3847d97637f6a143b18a59f7ff767c)
![{\displaystyle {\mbox{Kurt}}_{E}={\frac {\mu _{4}(X)}{\sigma ^{4}}}-3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2e44995977e1f54ef89e22ec6f673e119adef7)
– moment centralny n–tego rzędu,
– moment zwykły n–tego rzędu,
- Dystrybuanta rozkładu normalnego oraz gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego to odpowiednio:
![{\displaystyle P_{x}(A)=\int _{A}f(x)dx,\qquad f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}},dla\qquad x\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9686e2b26579f4e2e4aeefb0ae588e5b1c751b)
Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:
![{\displaystyle m=\operatorname {E} X=m_{1}(X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3eb6affa6e8a889b3c917f0dd71602ecd635f2)
![{\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {D} ^{2}X=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} X)^{2})=\mu _{2}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545e95aa82c7f3173a2d232525e5395e9228637a)
Mamy:
- a)
![{\displaystyle m_{n}(X)=\int _{\Omega }X^{n}(w)P(dw)=\int _{\mathbb {R} }x^{n}f(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f200bde7490f0e698b9df4335f7fa93789bce94)
- b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}(X)&=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} X)^{4})\\&=\operatorname {E} (X^{4}-4(\operatorname {E} X)X^{3}+6(\operatorname {E} X)^{2}X^{2}-4(\operatorname {E} X)^{3}X+(\operatorname {E} X)^{4})\\&=\operatorname {E} (X^{4})-4m\operatorname {E} (X^{3})+6\operatorname {E} (X^{2})(\operatorname {E} X)^{2}-4(\operatorname {E} X)^{3}m+m^{4}\\&=\operatorname {E} (X^{4})-4m\operatorname {E} (X^{3})+6m^{2}\operatorname {E} (X^{2})-3m^{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e941946649f290da15e12d5e88269b321eefd5e3)
Obliczamy momenty zwykłe:
![{\displaystyle z={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad x=z{\sqrt {2}}\sigma +m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0fdfebabf66598568c3c41c830caf1bad6103b)
![{\displaystyle dz={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad dx={\sqrt {2}}\sigma dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0091b9b25e5c73938534e424d885a1b3940a9c91)
![{\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(2z^{2}\sigma ^{2}+2{\sqrt {2}}z\sigma m+m^{2})e^{-z^{2}}dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344fe26fca52c4a2623aaa4e49ca2895f76cd246)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\Bigg (}2\sigma ^{2}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz\right)+2{\sqrt {2}}\sigma m\left(\int _{-\infty }^{+\infty }ze^{-z^{2}}dz\right)_{=0}+m^{2}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz\right)_{={\sqrt {\pi }}}{\Bigg )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf9b56d1c023fa4c47b8e038c495105d9abb9aa)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz=\int _{-\infty }^{+\infty }z\cdot ze^{-z^{2}}dz=-{\frac {1}{2}}ze^{-z^{2}}{\Bigg |}_{-\infty }^{+\infty }+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94649b42e09db39db0a0f9f97835943e006e7a0d)
![{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}ze^{-z^{2}}{\Bigg |}_{-\infty }^{+\infty }+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ab31f72ef82a0772e37f7d1488b108a3b3c9f7)
![{\displaystyle z={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad x=z{\sqrt {2}}\sigma +m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0fdfebabf66598568c3c41c830caf1bad6103b)
![{\displaystyle dz={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad dx={\sqrt {2}}\sigma dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0091b9b25e5c73938534e424d885a1b3940a9c91)
![{\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(z^{3}{\sqrt {2^{3}}}\sigma ^{3}+3z^{2}2\sigma ^{2}m+3z{\sqrt {2}}\sigma m^{2}+m^{3})e^{-z^{2}}dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adf047e3d8302481f35db434e5cf39b45f95869)
![{\displaystyle ={\frac {2{\sqrt {2}}\sigma ^{3}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{3}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+{\frac {6\sigma ^{2}m}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251609259d4980ca46d5e11298f54663f86993c5)
![{\displaystyle +{\frac {3{\sqrt {2}}\sigma m^{2}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }ze^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+{\frac {m^{3}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\sqrt {\pi }}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112f25dd34cf1312476205aa24fcfb4fd4d63072)
![{\displaystyle z={\frac {x-m}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad x=z{\sqrt {2}}\sigma +m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0fdfebabf66598568c3c41c830caf1bad6103b)
![{\displaystyle dz={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad dx={\sqrt {2}}\sigma dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0091b9b25e5c73938534e424d885a1b3940a9c91)
![{\displaystyle =^{*}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(4\sigma ^{4}z^{4}+32{\sqrt {2}}\sigma ^{3}mz^{3}+12\sigma ^{2}m^{2}z^{2}+4{\sqrt {2}}\sigma m^{3}z+m^{4})e^{-z^{2}}dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b2b331cfcbf642914755223727a9e5f1dffe6b)
![{\displaystyle ={\frac {4\sigma ^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{4}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}+{\frac {32{\sqrt {2}}\sigma ^{3}m}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{3}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d63472b0ba94f1497150cb1b8f469c7537bf8b06)
![{\displaystyle +{\frac {12\sigma ^{2}m^{2}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}+{\frac {4{\sqrt {2}}\sigma m^{3}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }ze^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{=0}+{\frac {m^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz{\bigg )}_{={\sqrt {\pi }}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075601998fb480fdd5176d27a9fc2ee576de2819)
![{\displaystyle ={\frac {4\sigma ^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\bigg (}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{4}e^{-z^{2}}dz{\bigg )}+0+{\frac {12\sigma ^{2}m^{2}}{\sqrt {\pi }}}(\sigma ^{2}+m^{2})+0+{\frac {m^{4}}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi }}=^{**}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400995ccf7eb5a3f8361b980bb507945ce3f912c)
![{\displaystyle u=z,\quad u'=1,\quad v'=z^{3}e^{-z^{2}},\quad v=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7521b97cb79ddcd3a47c02e527bc3ea2c80a7f)
![{\displaystyle t=z^{2}\quad u=t,\quad u'=1,\quad dz={\frac {1}{2z}}dt,\quad v'=e^{-t},\quad v=-e^{-t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62d020f8e303198aea538854f39d4857803059c)
![{\displaystyle =^{*}z\cdot {\frac {1}{2}}(-z^{2}e^{-z^{2}}-e^{-z^{2}}){\Big |}_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{2}}(-z^{2}e^{-z^{2}}-e^{-z^{2}})dz={\frac {1}{2}}\cdot 0+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }z^{2}e^{-z^{2}}dz+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-z^{2}}dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ae3b141d4e7ed9b3cb4d3c75b206e0f536b3c0)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\pi }}={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1d02d8e64c0f8c78e9925685af3e880b3c5220)
Obliczone wartości:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab43075e69e50e1c5d94e527fc10787debb0f541)
![{\displaystyle \operatorname {E} (X^{3})=3\sigma ^{2}m+m^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664718c554bdd2e00c545015bb5a9ae5be534a3e)
![{\displaystyle \operatorname {E} (X^{4})=3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe52292ea8e7b29d0580a35433d05f5334efc37)
podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}(X)&=\operatorname {E} (X^{4})-4m\operatorname {E} (X^{3})+6m^{2}\operatorname {E} (X^{2})-3m^{4}\\&=(3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4})-4m(3\sigma ^{2}m+m^{3})+6m^{2}(\sigma ^{2}+m^{2})-3m^{4}\\&=3\sigma ^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+m^{4}-12\sigma ^{2}m^{2}-4m^{4}+6\sigma ^{2}m^{2}+6m^{4}-3m^{4}=3\sigma ^{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020e3bcbb4d2d227d566d77c8faa083c9b32c2cc)
Stąd kurtoza jest równa:
![{\displaystyle \operatorname {Kurt} _{E}={\frac {(\mu _{4}(X))}{(\sigma ^{2})^{2}}}-3={\frac {3\sigma ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3=3-3=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef7fc0c879dd49f3d3660cd771ad1d59ac96fdb)
- ↑ a b BłażejB. Kochański BłażejB., Czy kurtoza mierzy spiczastość rozkładu?, „Wiadomości Statystyczne. The Polish Statistician”, 67 (11), 2022, s. 43–61, DOI: 10.5604/01.3001.0016.1039, ISSN 2543-8476 [dostęp 2023-04-19] .
- ↑ Peter H.P.H. WESTFALL Peter H.P.H., Kurtosis as Peakedness, 1905 – 2014. R.I.P., „The American statistician”, 68 (3), 2014, s. 191–195, DOI: 10.1080/00031305.2014.917055, ISSN 0003-1305, PMID: 25678714, PMCID: PMC4321753 [dostęp 2021-03-15] .