Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata[1], które mówi, że jeżeli funkcja
![{\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec63821d368dc2985bd9f3a51071aa930c8e4f47)
jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa
![{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943f75713794fed32e5c1272e55acd53c629533b)
istnieje i jest skończona, to
[2][3][4].
Rozumując nie wprost: niech
nie zbiega do
gdy
Oznacza to, że dla pewnego
oraz wszelkich
istnieje takie
że
![{\displaystyle {\Big |}f(t_{n}){\Big |}\geqslant \varepsilon _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff97a75440bd66407785636a272fafc6d2c26d6)
Niech
będzie liczbą odpowiadającą
w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia
Oznacza to, że
![{\displaystyle {\Big |}f(t)-f(t_{n}){\Big |}\leqslant {\frac {\varepsilon _{0}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c44ef542686266b37228f5a01e05c672d70b336)
o ile tylko
![{\displaystyle |t-t_{n}|<\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fc0a4eb708fde45d8652107d280a6280aeb230)
Stąd dla wszelkich
zachodzi
| | ![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big |}f(t){\Big |}&={\Big |}f(t_{n})-{\big (}f(t_{n})-f(t){\big )}{\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\Big |}f(t_{n})-f(t){\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\\&\geqslant \varepsilon _{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a2ded99ca6887dcd064273a384519fcd2bc095) |
|
(1) |
co wobec dodatniości
oznacza
| | ![{\displaystyle {\Big |}f(t){\Big |}>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cdf1357e08202b96a1f24b42ee9437111b10ebd) |
|
(2) |
Z jednej strony więc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|&=\left|\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\&\ {\stackrel {(*)}{=}}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\Big |}f(\tau ){\Big |}\,\mathrm {d} \tau \\&\ {\stackrel {(**)}{\geqslant }}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,\mathrm {d} \tau \\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\cdot \delta >0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64df1128061affd4160ba12d242c46799845763)
przy równość (*) wynika stąd, że funkcja
w przedziale
nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności (2), osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z (1).
Z drugiej jednak strony,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&|I-I|=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110a6269171fd7cae7eb5834480f11ca16b36fea)
co prowadzi do sprzeczności[5].
G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni
których pochodna należy do
[6].
- ↑ I. Barbălat, Systèmes d’équations différentielles d’oscillations non Linéaires, Rev. Math. Pures Appl. 4 (1959), 267–270.
- ↑ Khalil 1992 ↓, s. 192.
- ↑ Popov 1973 ↓, s. 211.
- ↑ Slotine i Li 1991 ↓, s. 124.
- ↑ Slotine i Li 1991 ↓, s. 125.
- ↑ G. Tao, A simple alternative to the Barbălat Lemma, IEEE Trans. Automat. Control, 42 (1997), no. 5, 698.
- B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma, The American Mathematical Monthly 123(8) (2014) 825–830.
- H.K. Khalil, Nonlinear Systems, Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
- V.M. Popov, Hyperstability of Control Systems, Springer-Verlag, New York, 1973.
- J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.