Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Lemat o π- i λ-układach – lemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława Sierpińskiego[1]. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene Dynkin[2].
Jeśli rodzina
podzbiorów zbioru
jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru
to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru
- Pokażemy, że
- Ponieważ
jest λ-układem:
![{\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcb18d1cac31b6b1ab192a64a4c11f3cc4359a9)
- oraz
![{\displaystyle \Omega \subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus \Omega =\emptyset \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b228ca8516eeaf8c2384e47a16e4185eeef374f)
- Następnie wykażemy, że
![{\displaystyle A\in {\mathcal {A}},\Omega \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9aa87e1cc2d7d9ed00aca1d0c9cadb7d5cee0a)
- więc z własności λ-układu:
![{\displaystyle A\subset \Omega \Rightarrow \Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3474b4ead8e9418b0d2375bfb709ee112b74f88c)
- Pozostaje do pokazania:
- Ustalmy dowolnie
![{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b59295d32639fef04a413bb1361390c21e44f25)
- Wówczas także (λ-układ):
![{\displaystyle \Omega \setminus A_{1},\Omega \setminus A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a86c7f11930dd2cf5047991fba29e7a6e736ee7)
- Korzystając z własności π-układu mamy:
![{\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{n}(\Omega \setminus A_{i})\in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfc3a209d5b6fa41b1291f7a7b7a20df9a5b4d5)
- Ale
Wobec tego, również: ![{\displaystyle \Omega \setminus \left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84eadb362ef995e361ca66d90bbbcb8ecd754215)
- Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci:
![{\displaystyle B_{1}=A_{1},B_{2}=A_{1}\cup A_{2},B_{3}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bba0d4e9219adf1942e7477156a7ea52d60fbd0)
- Ciąg zbiorów
jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu)
Wobec tego:
![{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04db1ef65b89b6879ae6f6608f9492126f5c5327)
Jeśli λ-układ
podzbiorów zbioru
zawiera π-układ
to
zawiera
czyli σ-ciało generowane przez
- Zdefiniujmy:
jest λ-układem oraz ![{\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {C}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec5d33371783d157cfe6be1fded8f57d4069d11)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca79b3625c8332abf57b50afa2eaae75c8d60b81)
jest λ-układem
- Pokażemy, że
jest także π-układem:
- Niech
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}:=\{A\subset \Omega :\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B)\in {\mathcal {L}}_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc627062fa8375a0fa85a28bf24132c0ee7860d6)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2933d115a7e43e8e3e8177130b31b34e0e81e7f8)
jest λ-układem
- Ponieważ
jest najmniejszym λ-układem zawierającym
mamy: ![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3099836437c1e16d2003ef5743ff0f4637a6be62)
- tzn.
![{\displaystyle \bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {H}}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ba876cb4c455d19add46c76b5569cf3a105a2c)
- Niech
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}:=\{B\subset \Omega :\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea4c976e2b5462cee51c5034af290ca82c4eed3)
- korzystając z
otrzymujemy ![{\displaystyle {\mathcal {H}}\subset {\mathcal {L}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c7f988c0699950222f1995f18c5ff683c9adf3)
jest λ-układem
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74627a2b321d33871dd1af5c74677b0521bcb027)
- tzn.
![{\displaystyle \bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {L}}_{0}}\bigwedge \limits _{B\in {\mathcal {L}}_{0}}(A\cap B\in {\mathcal {L}}_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab953e55c61e7896de1eb10c01906674d33aadc)
jest więc π-układem
- Korzystając z uwagi wnioskujemy, że
jest σ-ciałem podzbiorów zbioru
zawierającym π-układ ![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)
- Wobec tego
![{\displaystyle \sigma ({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {L}}_{0}\subset {\mathcal {L}}\quad \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56823395d4b90416eda60308293c80e5210dd04)
- ↑ Un théorème générale sur les families d’ensemble, Fundamenta Mathematicae 12 (1928), s. 206–210.
- ↑ Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, SCRIPT, Warszawa 2004, wyd. III.