Lematy Borela-Cantellego[1] – lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.
Niech
będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej
Pierwszy lemat Borela-Cantellego[edytuj | edytuj kod]
Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń
jest zbieżny, tj.
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcec7cbaf343b6698f8529be0312ed550f58df8)
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń
wynosi 0, tj.
![{\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e233607d079235ee91f9035ddd45d5f2040bff)
- Niech
![{\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469556882847bd5b911b069c57b13b1699f4da38)
- Korzystając z własności miary:
![{\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba556758646daf01b3ba684180bcf100d353ec0)
- Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
![{\displaystyle P(B_{n})=P\left(\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\ \ (\star ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f69566e01a6687d293c92b5f2c20418f084fd8a)
- Niech
Z założenia
więc szereg jest zbieżny.
- Zauważmy, że:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})=S-S_{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aee00ea2d5e6c1bf2841553a161ac622e917380)
![{\displaystyle \left(S_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}S\right)\Rightarrow \left(S-S_{n-1}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right)\Rightarrow \left(\sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16dd4e7867ab0e948c353a15f45a3e1b5c61c033)
- Korzystając z
oraz twierdzenia o trzech ciągach:
![{\displaystyle \left(0\leqslant P(B_{n})\leqslant \sum \limits _{k=n}^{\infty }P(A_{k})\right)\Rightarrow \left(P(B_{n}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f79b976bb2de9a7db6f02a42e22e2b4d2acd3af)
- Kończy to dowód, bo:
![{\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5523c7952716a08384b8bf07c56f47f82d51b9)
Drugi lemat Borela-Cantellego[edytuj | edytuj kod]
Jeśli zdarzenia
są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})=+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9320cadecfa0f06ba8b8ccea881c699336325e8)
wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń
wynosi 1, tj.
![{\displaystyle P\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k}\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb8eb7a33ec7a6db7581076bf197753a99ae5e2)
- Niech
![{\displaystyle A:=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n},\ B_{n}:=\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k},\ B_{n+1}\subseteq B_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469556882847bd5b911b069c57b13b1699f4da38)
- Korzystając z własności miary:
![{\displaystyle P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba556758646daf01b3ba684180bcf100d353ec0)
- Zapiszmy
w postaci: ![{\displaystyle B_{n}=\bigcup _{m=n}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97eb15f4f4aced90b3e622b90759f87675ba08dc)
- Niech
![{\displaystyle C_{m,n}:=\bigcup _{k=n}^{m}A_{k},\ C_{m,n}\subseteq C_{m+1,n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed61e38cf52b284630d68412c0e099fe2de9fe5c)
- Korzystając ponownie z własności miary:
![{\displaystyle P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3afa141c303fc3c85517bd09d9284804c78155)
- Zauważmy, że
gdzie ![{\displaystyle A_{k}^{'}=\Omega -A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d501a891c3e7c7bb71db444272fc7e30d1576bee)
![{\displaystyle P\left(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k}\right)=1-P\left(\bigcap _{k=n}^{m}A_{k}^{'}\right)=1-\prod \limits _{k=n}^{m}P(A_{k}^{'})=1-\prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212f25c566785fb8cc516e56a1dce259e2c77859)
- Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że
![{\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0528e4bf1a5adfb678104d5b67f6950691996fbd)
- Zauważmy:
![{\displaystyle x\geqslant 0\Rightarrow \exp[-x]\geqslant 1-x\ (\star )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4c1850299971fb454f971c978f96db35b7a68c)
![{\displaystyle 0\leqslant \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k}))\leqslant ^{(\star )}\prod \limits _{k=n}^{m}\exp[-P(A_{k})]=\exp \left[-\sum \limits _{k=n}^{m}P(A_{k})\right]{\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6f17c71311dff6ec04612305d7b6a0f5c0dd26)
- Więc z twierdzenia o trzech ciągach:
![{\displaystyle \prod \limits _{k=n}^{m}(1-P(A_{k})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0528e4bf1a5adfb678104d5b67f6950691996fbd)
- I ostatecznie
![{\displaystyle \left(P(B_{n})=\lim _{m\to \infty }P(\bigcup _{k=n}^{m}A_{k})=1\right)\Rightarrow \left(P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }A_{k})=P(A)=\lim _{n\to \infty }P(B_{n})=1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7298259b46cd648c1e19d4ec048288a26cf6e4)
- Jeżeli zdarzenia
są niezależne to dla zdarzenia
zachodzi warunek:
![{\displaystyle P(A)=0\ {\text{ lub }}\ P(A)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a1691f9cc0d780cbec8ac094de15a01620e679)
Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech
oznacza zdarzenie polegające na tym, że
-ty,
i
rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia
nie są niezależne, ale zdarzenia
są.
Każde zdarzenie
ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.
- ↑ Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1].
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.brak strony w książce