Liczba Heegnera (nazwana tak przez Conwaya i Guya) – dodatnia liczba całkowita bezkwadratowa
taka że urojone ciało kwadratowe
ma liczbę klas równą 1. Równoważnie jej pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczny rozkład[1].
Wyznaczanie takich liczb jest przypadkiem szczególnym problemu liczby klas. Kryją się one również w kilku frapujących wynikach z teorii liczb.
Według twierdzenia (Bakera-)Starka-Heegnera jest dokładnie dziewięć liczb Heegnera:
- 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163[2].
Wynik ten został podany przez Gaussa, a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952[3]. Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967[4]). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielka[5].
Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze[edytuj | edytuj kod]
Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze
![{\displaystyle n^{2}-n+41,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463bc0aabe347ae9483c7ed50078e6cad92990da)
który daje różne liczby pierwsze dla
jest związany z liczbą Heegnera
Formuła Eulera dla
przyjmującego wartości
jest równoważna z
![{\displaystyle n^{2}+n+41,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b88f7548dd61936ef8d06cb527ecc03063718fc)
dla
przyjmującego wartości
Rabinowitz[6] udowodnił, że
![{\displaystyle n^{2}+n+p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6c1aa28a5221e2d10536420962ff61c030b55c)
daje liczby pierwsze dla
wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik
jest równy ujemnej liczbie Heegnera.
Zauważmy, że dla
mamy
więc
jest największe. 1, 2 i 3 nie są w wymaganej postaci, więc liczby Heegnera, które zadziałają to:
dając funkcje w postaci Eulera generujące liczby pierwsze dla
te ostatnie liczby zostały przez François Le Lionnaisa nazwane „szczęśliwymi” liczbami Eulera[7].
Liczby niemal całkowite i stała Ramanujana[edytuj | edytuj kod]
Stała Ramanujana jest liczbą przestępną
która jest niemal całkowita, to znaczy jest bardzo „bliska” liczbie całkowitej:
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\ 537\ 412\ 640\ 768\ 743{,}99999\ 99999\ 9925\dots \approx 640\ 320^{3}+744.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5073a481926fcb27733f7893e0dfa5afe71bd666)
Liczba ta została odkryta w 1859 przez Charles Hermite’a[8] .
W 1975 w słynnym primaaprilisowym artykule w magazynie „Scientific American” publicysta „Mathematical Games” Martin Gardner podał dla żartu stwierdzenie[9], że liczba ta w rzeczywistości jest całkowita, a przewidzieć to miał jakoby hinduski genialny matematyk Srinivasa Ramanujan i stąd wzięła się jej nazwa[10].
Ten zbieg okoliczności wyjaśniono dzięki arytmetyce krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym (ang. complex multiplication) i formie modularnej
-niezmiennika.
Zwięźle ujmując
jest całkowite dla
będącego liczbą Heegnera i poprzez formę modularną
Jeśli
jest kwadratowo niewymierne, wtedy
-niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia
liczba klas
i minimalny (unormowany) wielomian, który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta. Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe
ma liczbę klas równą 1 (więc
jest liczbą Heegnera)
-niezmiennik jest liczbą całkowitą.
Forma modularna
w rozwinięciu w szereg Fouriera zapisany jako szereg Laurenta dla wyrażenia
zaczyna się następująco:
![{\displaystyle j(q)={\frac {1}{q}}+744+196\ 884q+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b992483907bfa7cc15661204621a426ea92a7ca)
Współczynniki
asymptotycznie rosną jak
a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż
więc dla
jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając
otrzymujemy
lub równoważne
Teraz
więc
![{\displaystyle (-640\ 320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976572f31878f470086f46e4662758035ca68175)
lub
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\ 320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1dad78a35238026770ecaf90b5e1810f1d2560)
gdzie wyrażenie liniowe błędu jest
![{\displaystyle -196\ 884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 196\ 884/(640\ 320^{3}+744)\approx -0{,}00000\ 00000\ 0075,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703a6c968fbc9be9b2af568301105473a76d0316)
co wyjaśnia dlaczego
jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.
Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\ 320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\ 344\ 418k+13\ 591\ 409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\ 320)^{3k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f98c1e13e2bf70e1747ac58311716b08b0325fa)
korzysta z faktu, że
Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacje[a] są następujące:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\ 280^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\ 320^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfb000f63d70517e002ace9867e8b7efafa8595)
Alternatywnie
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0{,}22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0{,}00022\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 13\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0{,}00000\ 00000\ 0075\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91db04d6f4e8597384ac17382b8c7b69d51d8ea0)
gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina. Dla liczb Heegnera
nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych; nawet
nie jest osobliwe. Całkowite
-niezmienniki są wysoce rozkładalne, co wynika z postaci
Czynnikami są:
![{\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\ 320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985d51ece404656e2f28b131cc25f2ee7daa6651)
Te liczby przestępne, dodatkowo blisko aproksymowane przez liczby całkowite (które są liczbami algebraicznymi stopnia 1), mogą być również blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne stopnia 3[11]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24;x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902c3b18731fe9b4a7fbaf962cd19a368ac38e50)
Pierwiastki trzeciego stopnia można dokładnie wyznaczyć poprzez ilorazy funkcji eta Dedekinda
pewnej funkcji modularnej z udziałem pierwiastka stopnia 24, co wyjaśnia występowanie 24 w aproksymacji. Dodatkowo mogą być blisko aproksymowane przez liczby algebraiczne 4 stopnia[12].
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(-3+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12{,}00006\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(-39+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 0061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(-219+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00003\ 6\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(-26\ 679+2\ 413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12{,}00000\ 00000\ 0000\ 021\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972de1d340489c07eca5a70d159ac9073a862d1a)
Zauważmy ponowne pojawienie się liczb całkowitych
oraz fakt, że
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-3^{2}+3\cdot 19\cdot 1^{2})=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-39^{2}+3\cdot 43\cdot 7^{2})=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-219^{2}+3\cdot 67\cdot 31^{2})=5280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-26\ 679^{2}+3\cdot 163\cdot 2413^{2})=640\ 320^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01eb1b09f70b807b191949ba0de9c401e228e289)
z odpowiednimi potęgami ułamkowymi są właśnie
-niezmiennikami. Również dla liczb algebraicznych stopnia 6
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00001\ 0\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 0010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 61\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6281b3543bfa76ba9ef1f78d5f9f86bf9a9189d7)
gdzie
są dane przez odpowiednie pierwiastki równania szóstego stopnia
![{\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\ 320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8be65a9bc4d271498fecf6b8a183f6d9b08a409)
z ponownie pojawiającymi się
-niezmiennikami. Równania szóstego stopnia są nie tylko algebraiczne, ale są też rozwiązalne w pierwiastkach, ponieważ rozkładają się na dwa równania sześcienne nad rozszerzeniem
(z pierwszym równaniem rozkładającym się dalej na dwa równania kwadratowe). Te aproksymacje algebraiczne mogą być dokładnie wyrażone w wyrażeniach z ilorazami
Dedekinda. Dla przykładu niech
wtedy
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24{,}00000\ 00000\ 00001\ 05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12{,}00000\ 00000\ 00000\ 21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6{,}00000\ 00000\ 00000\ 034\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156e867f50f405c11687b2174fe196a0c16964e)
gdzie ilorazy
są podanymi powyżej liczbami algebraicznymi.
Dla danej liczby pierwszej
jeśli obliczymy
dla
(to jest wystarczające, bo
), to otrzymamy kolejne liczby złożone, następujące po kolejnych liczbach pierwszych, wtedy i tylko wtedy, gdy
jest liczbą Heegnera[13].
- ↑ Można je sprawdzić obliczając
na kalkulatorze i przyjmując
w wyrażeniu liniowym dla błędu.
- ↑ Conway i Guy 1996 ↓, s. 224.
- ↑ OEIS A003173. [dostęp 2016-06-26]. (ang.).
- ↑ Heegner 1952 ↓, s. 227–253.
- ↑ Stark 2011 ↓, s. 35, 37.
- ↑ Stark 1969 ↓, s. 16, 27.
- ↑ Rabinowitz 1913 ↓, s. 418–421.
- ↑ Le Lionnais 1983 ↓, s. 88, 144.
- ↑ Barrow 2002 ↓.
- ↑ Conway i Guy 1996 ↓, s. 225.
- ↑ Gardner 1975 ↓, s. 127.
- ↑ Pi Formulas. [dostęp 2016-06-26]. (ang.).
- ↑ Extending Ramanujan’s Dedekind Eta Quotients. [dostęp 2016-06-27]. (ang.).
- ↑ Simple Complex Quadratic Fields. [dostęp 2016-06-27]. (ang.).
- John D. Barrow: The Constants of Nature. Londyn: Jonathan Cape, 2002. ISBN 0-224-06135-6. (ang.).
- John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.).
- Martin Gardner. Mathematical Games. „Scientific American”. 232 (4), kwiecień 1975. Scientific American, Inc. DOI: 10.1038/scientificamerican0475-126. ISSN 0036-8733. (ang.).
- Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen. „Mathematische Zeitschrift”. 56 (3), s. 227–253, 1952. DOI: 10.1007/BF01174749. (niem.).
- François Le Lionnais: Les nombres remarquables. Paryż: Hermann, 1983. ISBN 978-2705614072. (fr.).
- Georg Rabinowitz: Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern. W: Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians. Ernest William Hobson, Augustus Edward Hough Love. T. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1913. OCLC 1401628. (niem.).
- Harold M. Stark. On the „Gap” in the Theorem of Heegner. „Journal of Number Theory”. 1, 1969. DOI: 10.1016/0022-314X(69)90023-7. ISSN 0022-314X. (ang.).
- Harold M. Stark: The Origin of the „Stark” conjectures. W: Arithmetic of L-functions. Edytorzy Cristian Popescu, Karl Rubin i Alice Silverberg. Providence: American Mathematical Society, 2011, seria: IAS/Park City mathematics series. ISBN 978-0-8218-5320-7. (ang.).