Matryca logiczna dla języka zdaniowego
sygnatury
– para
gdzie
jest algebrą sygnatury
zaś
Algebrę
nazywamy algebrą matrycy
wyróżniony zbiór
zaś, zbiorem jej prawd. Często dla danej matrycy
jej algebrę oznaczamy tym samym symbolem
a zbiór jej prawd symbolem
Formuła
języka
jest prawdziwa w
jeśli
dla dowolnego homomorfizmu
algebry języka
w algebrę matrycy
Zbiór formuł prawdziwych w
oznacza się symbolem
i nazywa zawartością matrycy
Zbiór formuł
jest prawdziwy w
jeśli
Zbiór formuł
języka
jest spełnialny w
jeśli
dla pewnego homomorfizmu
algebry języka
w algebrę matrycy
Operatorem konsekwencji matrycy
nazywamy funkcję
daną wzorem:
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}(X)=\{\delta :\bigwedge _{v:\mathbf {P} \to |{\mathcal {M}}|}{\big (}{\widehat {v}}\;{\grave {}}\,{\grave {}}X\subseteq {\mathcal {M}}^{\star }\;\Rightarrow \;{\widehat {v}}(\delta )\in {\mathcal {M}}^{\star }{\big )}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccbd73446040ede399fe69b77e3bb27271e8616)
Matryca
jest adekwatna dla rachunku zdaniowego
jeśli
Matrycą Lindenbauma dla rachunku zdaniowego
jest matryca
Jeśli
jest inwariantny, to matryca ta jest adekwatna dla tego rachunku.
Matryca ta jest dla rachunku
silnie adekwanta, jeśli
W przypadku wybranych algebr, takich jak np. algebry Boole’a, Heytinga, Łukasiewicza i in., przenosimy pojęcia prawdziwości/spełnialności formuły/zbioru formuł na grunt tychże, mając na myśli odpowiedniki tych pojęć w matrycy, której algebrą jest dana algebra, a zbiorem wyróżnionym jest jednoelementowy zbiór zawierający element największy tej algebry.
Np. algebrze Heytinga
odpowiada matryca
a algebrze Łukasiewicza
matryca