Nierówność Lévy’ego jest jedną z nierówności maksymalnych.
Służy do szacowania prawdopodobieństwa, że
jest większe lub równe od pewnej ustalonej liczby rzeczywistej (gdzie
to suma niezależnych symetrycznych zmiennych losowych) przez prawdopodobieństwo, że ostatnia z tych sum –
jest większa lub równa niż ta sama liczba rzeczywista (z dokładnością do stałej).
Niech
będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi losowymi.
Niech
Wówczas dla
zachodzi
![{\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f46a2f3d396ccc39c33b6bb54c16797fb9e404)
Oznaczmy
Zauważmy, że
Ponieważ zmienne
są symetryczne, więc łączny rozkład
jest identyczny jak łączny rozkład
Zatem
Otrzymujemy więc tezę:
![{\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant s)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})\leqslant 2\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}\cap \{|S_{n}|>s\})\leqslant 2P(|S_{n}|\geqslant s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e6dabcc311307d09bdc47bc458a99ea5f3cb22)