Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana[1].
Dla danej przestrzeni Banacha
oraz jej podzbioru
i funkcjonału
z
do przestrzeni dualnej
do przestrzeni
nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej
przebiegającej zbiór
następującej nierówności:
![{\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geqslant 0\qquad \forall _{y\in {\boldsymbol {K}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fdad7c79b3a5e08e195c4a56094313c7ab4a53)
gdzie
jest dualnością wyrażającą się wzorem
gdzie
Minimum funkcji na przedziale[edytuj | edytuj kod]
Niech
będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie
Jeśli chcemy znaleźć punkt
w którym
![{\displaystyle f(x_{0})=\min _{x\in I}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e08aa5f2b8c968e0987a08976332700c8e40050)
Możliwe są wtedy trzy przypadki:
i wtedy ![{\displaystyle f'(x_{0})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fa4d22f6ff219eb211ee865cd9f4fa035b176)
i wtedy ![{\displaystyle f'(x_{0})\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d253aaea2f3fb649313ca7e921f4c2926537db)
i wtedy ![{\displaystyle f'(x_{0})\leqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03cc2a7b713e9ecff60cae1b61384ba35af3198)
Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej[2]:
![{\displaystyle f'(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in I}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f1908f46954dff6ce3285938ee2cfc8f26664f)
Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.
Minimum funkcji na zbiorze wypukłym[edytuj | edytuj kod]
Niech
będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze
Ponadto niech
będzie takim punktem, że
![{\displaystyle f(x_{0})=\min _{x\in K}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13b78a51b78cc3c24d1cf76e54aa31ceceb22d3)
Ponieważ zbiór
jest wypukły, więc odcinek
![{\displaystyle \{(1-t)x_{0}+tx:0\leqslant t\leqslant 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2763bfaa9b49f6d61a9e44e7bba8478b3738d500)
leży w zbiorze
i można rozpatrzeć funkcję
gdzie ![{\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0eb4177a2ca5a0c2cd91735cba6201c1cafe86)
Osiąga ona minimum dla
i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że
![{\displaystyle \Phi '(t)=\operatorname {grad} f(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fc98b8029b27353e3200fefb6ad9464e079044)
Zatem punkt
spełnia nierówność[3]:
![{\displaystyle \operatorname {grad} f(x_{0})(x-x_{0})\geqslant 0\qquad \forall _{x\in K}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac864bf9fb9de96a2c481c34c8487607782282a2)
Jeśli zbiór
jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru
Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.
Niech
będzie obszarem o brzegu
i niech
gdzie
będzie taką funkcją, że
i ![{\displaystyle \psi \leqslant 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d770832a4ecb205faa61e4220fadbe1e6aa0298)
na
Niech
![{\displaystyle K=\{\upsilon \in {\mathcal {C}}^{1}({\overline {\Omega }}):\upsilon \geqslant \psi {\text{ na }}\Omega {\text{ i }}\upsilon =0{\text{ na }}\partial \Omega \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f22554c36b959eaa9d48f66f68dff16a63c738)
Zbiór
jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji
jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję
dla której
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} u|^{2}dx=\min _{\upsilon \in K}\int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} \upsilon |^{2}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c97f7a69a0797d578b1cea1cdd87c4df35c448e)
Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega }|\operatorname {grad} u\operatorname {grad} (\upsilon -u)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586a5703af5903ad05116620edee7ec2a42c3923)
dla każdego