Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy[1].
Operator używany w mechanice płynów.
Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:
lub w sktócie ![{\displaystyle D_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee48f12691290ea520005632a5bf114b6816f3d)
W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521e1ca46720dbd58a13567163e158e51a6e0e42)
różniczkowania cząstkowego względem czasu
Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:
Zapis klasyczny
|
|
Zapis indeksowy
|
|
Zapis absolutny
|
|
gdzie:
– prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.
Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu[1].
Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako
która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96678ee3ad61c5b697654d11374bbe6bf8c2defd)
Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu[1]:
![{\displaystyle \phi =v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fd1ac2c41c945b26da765b550d4d0f1cca17dc)
![{\displaystyle a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3bf3247385d1c8f24c7573354cf3511a0ee2c18)
Wyprowadzenie w analizie lokalnej[edytuj | edytuj kod]
W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej
w chwili
znajdzie się w chwili
w punkcie
Z definicji pochodnej:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})-\phi (t,{\vec {x}})}{\Delta t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cfcb638e628a767a825fddb6d5b686740e9ade)
Oznaczając:
![{\displaystyle {\vec {v}}'={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d475ad2fd66ef33102026963683615fcd9a3dca)
można zauważyć, że:
![{\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\vec {v}}'={\vec {v}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725a0ab0e8d15f3fd32965b3f7b5cf50224ea323)
Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu
otrzymuje się:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})&=\phi (t,{\vec {x}})+{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot \Delta {\vec {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta {\vec {x}}\,\Delta {\vec {x}})+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})\\&=\phi (t,{\vec {x}})+\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2d6088276a9a817f4e3ff7e07b13674434e2e0)
Stąd:
![{\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\vec {v}}'\cdot {\vec {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\phi =\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63857b9df23f0f809a8108b140c01cf925d9717e)
Różniczka zupełna funkcji
ma postać:
![{\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a92b20157d40eb161639c1eefcb7c72049c107)
dzieląc przez
możemy zapisać:
![{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf4cc767d8717761983415c55d26ad7ac028e62)
uwzględniając, że prędkość
otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \phi }{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a688d6d4593e39883b14defcd961673d93a14a6b)
Co można zapisać, używając operatorów:
![{\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6e8402996753b184b73299357c6441d5e6d96e)
W literaturze oznaczenia
oraz
używane są zamiennie.