Pierwiastek jednostkowy

Pierwiastek jednostkowy (ang. unit root) – właściwość niektórych procesów stochastycznych (na przykład procesów błądzenia losowego), która może utrudniać wnioskowanie statystyczne przy modelowaniu szeregów czasowych. Liniowy proces stochastyczny ma pierwiastek jednostkowy, gdy pierwiastkiem równania charakterystycznego procesu jest 1. Taki proces jest niestacjonarny, choć niekoniecznie charakteryzuje się trendem.

Obecność pierwiastka jednostkowego sprawdza się z wykorzystaniem statystycznych testów pierwiastka jednostkowego, np. testu Dickeya-Fullera.

Definicja

Rozważmy proces stochastyczny o czasie dyskretnym $(y_{t},t=1,2,3,\ldots )$, który można zapisać w formie procesu autoregresyjnego rzędu p:

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t},$

gdzie $(\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)$ to nieskorelowany proces o średniej zero i stałej wariancji $\sigma ^{2}$. Dla wygody przyjmijmy $y_{0}=0$. Jeśli $m=1$ jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego:

$m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0,$

to proces stochastyczny ma pierwiastek jednostkowy i jest procesem zintegrowanym rzędu pierwszego, co zapisujemy I(1).

Przykład

Model autoregresyjny pierwszego rzędu AR(1): $y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}$ ma pierwiastek jednostkowy, gdy $a_{1}=1$. W tym przykładzie równanie charakterystyczne to $m-a_{1}=0$, a jego pierwiastek to $m=1$.