Pierwiastek sześcienny – dla danej liczby każda liczba której sześcian jest równy danej liczbie Zwykle oznacza się je jako [1], gdzie jest symbolem pierwiastka sześciennego. Liczba nazywana jest liczbą podpierwiastkową.
Pierwiastek sześcienny z liczby naturalnej jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwiastkowana jest sześcianem liczby naturalnej[2]. W twierdzeniu tym liczby naturalne można zastąpić liczbami całkowitymi.
Pierwiastek sześcienny z liczby wymiernej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest sześcianem liczby wymiernej.
Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje dokładnie jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny z Wynika to z tego, że funkcja
Z wartości granic na podstawie twierdzenia Darboux wynika wtedy, że funkcja ta przekształca zbiór liczb rzeczywistych na a z monotoniczności wynika jej różnowartościowość. Dlatego dla każdej liczby istnieje dokładnie jedna liczba Liczba jest pierwiastkiem sześciennym z
Tożsamości związane z pierwiastkiem sześciennym[edytuj | edytuj kod]
Z definicji pierwiastka sześciennego wynika, że
skąd wynikają następujące równości:
Dla wszystkich liczb rzeczywistych zachodzi wzór
Pierwiastek sześcienny z liczby przeciwnej można obliczyć następująco:
Jeżeli są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi to:
dla
Tożsamości dla sumy i różnicy pierwiastków sześciennych:
można zastosować następujący algorytm obliczania pierwiastka sześciennego dysponując kalkulatorem kieszonkowym wyposażonym w klawisz do wyznaczania pierwiastka kwadratowego i mnożenia, rozpoczynając go po uzyskaniu na wyświetlaczu liczby, z której chcemy obliczyć pierwiastek sześcienny.
Naciśnij jeden raz klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia.
Naciśnij dwa razy klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia.
Naciśnij cztery razy klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia.
Naciśnij osiem razy klawisz pierwiastkowania.
Naciśnij klawisz mnożenia...
Proces należy kontynuować, aż liczba przestanie się zmieniać po naciśnięciu klawisza mnożenia, ponieważ powtarzana operacja pierwiastkowania wynosi 1 (co oznacza, że rozwiązanie zostało osiągnięte z największą dokładnością jaką ten kalkulator mógł osiągnąć). A następnie:
Naciśnij ostatni raz klawisz pierwiastkowania.
W tym momencie na wyświetlaczu pojawi się przybliżona wartość pierwiastka sześciennego.
Powyższa metoda wymaga aby kalkulator był wyposażony w funkcję pierwiastka kwadratowego. Dysponując prostą metodą obliczania pierwiastka kwadratowego następujące wyrażenie jest szybko zbieżne do wyniku:
Gdzie z każdą iteracją wynik jest zbieżny do pierwiastka sześciennego z
Ta metoda wymaga mniej iteracji niż metoda Halleya, ale wymaga więcej obliczeń, ukrytych w wyznaczeniu pierwiastków kwadratowych. Z uwagi na szybką zbieżność, początkowe przybliżenie wartością 1 jest wystarczające.
Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej istnieją dokładnie trzy liczby takie, że będące pierwiastkami sześciennymi z liczby Wynika to z algebraicznej domkniętościciała liczb zespolonych, z której wynika, że wielomian zmiennej zespolonej ma dla każdego ustalonego dokładnie trzy rozwiązania.
Dwa ostatnie rozwiązania prowadzą do zależności pomiędzy wszystkimi pierwiastkami sześciennymi z ustalonej liczby zespolonej Jeśli dana liczba jest pierwiastkiem sześciennym z to pozostałe dwa pierwiastki można wyznaczyć, mnożąc je odpowiednio przez dwa zespolone pierwiastki sześcienne z jedności.
Aby znaleźć wszystkie pierwiastki sześcienne z liczby rzeczywistej oznaczone odpowiednio i obliczamy:
Pierwiastek sześcienny na powierzchni Riemanna[edytuj | edytuj kod]
Funkcja może dla każdej wartości formalnie przyjąć trzy wartości zespolone. Nie byłaby wtedy jednak funkcją. Dlatego buduje się za pomocą przedłużenia analitycznegopowierzchnię Riemanna, na której można określić pierwiastek sześcienny jako funkcję. Powierzchnię tę można sobie wyobrazić jako trzy egzemplarze płaszczyzny zespolonej z usuniętym punktem 0 rozcięte wzdłuż półprostych wychodzących z punktu 0 i połączone z sobą tak, jak jest to pokazane na rysunku.
Z algebraicznego punktu widzenia pierwiastkiem sześciennym jest dowolne rozwiązanie równania zmiennej (czyli pierwiastek wielomianu). Równania takie można rozpatrywać nad dowolnym pierścieniem przemiennym.