Pochodna funkcji
w punkcie
albo różniczka funkcji
w punkcie
to przekształcenie liniowe
będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji
w punkcie
W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci
ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum.
Różniczkę funkcji
różniczkowalnej w punkcie
da się zawsze przedstawić w następującej postaci kanonicznej
![{\displaystyle Df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)Dx^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e079a5ca9b3c5ec159fd21990337daa0338a29)
gdzie
to pochodne rzutowań na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcji
danych wzorami
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189b4b9ecbf3e1c6294650413d43497cac5c819a)
Niech
będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
jeżeli istnieje przekształcenie liniowe
takie, że
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-Lh}{\|h\|}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df50c659ed99c06a1b439e28d5677033c2673cdc)
Przekształcenie liniowe
nazywamy pochodną funkcji
w punkcie
albo różniczką funkcji
w punkcie
i oznaczamy
lub podobnie.
Równoważnie funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:
![{\displaystyle f(a+h)-f(a)=Lh+r(h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c736766b9f581b62394b5b5467a769935329f8)
gdzie reszta
ma własność
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{\|h\|}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb977d91cf304ff0b0c84a0d7f6364ceb0437e3f)
Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.
Niech
będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja
jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie
Funkcja różniczkowalna
indukuje odwzorowanie
z
w przestrzeń przekształceń liniowych z
w
dane wzorem
![{\displaystyle x\mapsto Df(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfae3ffefa5e739edbfd91bc7af8a09e678dbb1)
które nazywamy pochodną funkcji
albo różniczką funkcji
- Różniczka jest operatorem liniowym:
![{\displaystyle D(\alpha f+\beta g)(a)=\alpha Df(a)+\beta Dg(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f08d96c3ff9b9fa52808984b66cd822c7c34d3)
- Zachodzi reguła łańcuchowa:
![{\displaystyle D(f\circ g)(a)=Df(g(a))\circ Dg(a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe2c7e633b8291ed77a8ca74c7cf8cab865bedc)
- o ile złożenia mają sens.
- Jeżeli
jest różniczkowalne w punkcie
to
![{\displaystyle Df(a)v={\frac {\partial f}{\partial v}}(a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5c0f87898e6249c2aad4cabdcb06ce40ddebf0)
- gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.
Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli
gdzie
to złożenia rzutowań
z funkcją
to macierz różniczki
jest postaci
![{\displaystyle [Df(a)]={\begin{bmatrix}\left[Df_{1}(a)\right]\\\vdots \\\left[Df_{m}(a)\right]\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a42152b5c836a34ec31629b2e7d83d92e3956b2)
Jeżeli
jest różniczkowalna w punkcie
to macierz jej różniczki w bazie standardowej
jest postaci
![{\displaystyle [Df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb72970781ecf3930300b6d1634cb8d5ac060d86)
Jeżeli
jest różniczkowalne w punkcie
to macierz jej różniczki w bazach standardowych
i
jest postaci
![{\displaystyle [Df(a)]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8caec2bd622a90d9e2ff6711650137b7066498)
Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:
![{\displaystyle [D(f\circ g)(a)]=[Df(g(a))]\cdot [Dg(a)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e1a855c1073cc42f6194310fc5e972f2b063e0)
(1) Rozważmy funkcję
daną wzorem
![{\displaystyle f(x,y):=(x^{2}y^{3},x^{2}y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f3bccf546155a60b6784a7a808902efe6b9867)
Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz
![{\displaystyle [Df(x,y)]={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d1745de7b43e3c55b3b08e2833a5277132c964)
i jest dana wzorem
![{\displaystyle Df(x,y)(h_{1},h_{2})={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c38f81e25b5fb819f04226e387294ff7312512)
(2) Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem
![{\displaystyle Df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f99993438bb8842798ae9596e6d2080a16a935)
(3) Przykładowo różniczka funkcji
danej wzorem
![{\displaystyle f(x,y):=x^{2}y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1d575f55be6f734bd89432e6a118ebe476831)
jest dana wzorem
![{\displaystyle Df(x,y)(h_{1},h_{2})=2xy^{3}h_{1}+3x^{2}y^{2}h_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70b92bf312d6193ada50fe15a011314ce9a433b)
i w punkcie
na wektorze
wynosi
![{\displaystyle Df(1,2)(3,4)=2\cdot 1\cdot 2^{3}\cdot 3+3\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 4=16\cdot 3+12\cdot 4=48+48=96.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d365e389ffe941a1cf2d9c4c64dc64eaaedaf7)
(4) Niech
oznaczają rzutowania na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn.
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e875ad835beef7d0b52767c159d0df775645e138)
Rzutowania są funkcjami różniczkowalnymi i ich różniczki są dane wzorem
![{\displaystyle D\pi ^{i}(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=h_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7e3ab68090932477e08c2f2195299f873fd892)
dla każdego
(5) Łącząc ostatni i przedostatni punkt widzimy, że różniczkę funkcji
(jeżeli istnieje) możemy zapisać w postaci
![{\displaystyle Df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)D\pi ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44be6a578ae3f694ec1c4c4fca51586f622cf3f0)
(dla prostoty oznaczeń piszemy
zamiast
).
(6) Oznaczając pochodną funkcji
w punkcie
przez
a pochodne
przez
możemy nadać wzorowi z poprzedniego punktu klasyczną formę
![{\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c232d055a0aa02166c546d2c959e1eb27df57f4)
(7) W przypadku funkcji
wzór z poprzedniego punktu sprowadza się do wzoru
![{\displaystyle df(a)=f'(a)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1ed3d764bf195a771dee3085c2fc9e4f238e9b)
W przypadku funkcji
pojęcia pochodnej (w elementarnym sensie) i różniczki różnią się. Jest to jednak różnica tylko pozorna, gdyż każdej pochodnej
odpowiada różniczka
a każdej różniczce
odpowiada pochodna
Pochodna funkcji
ma wiele daleko idących uogólnień. Są to m.in. pochodna Frecheta i pochodna Gateaux. W przypadku gdy m=1 (tzn. w przypadku funkcji
) pochodna ma bardzo głębokie uogólnienie w postaci
-formy różniczkowej.
- Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce