Przestrzenie Lorentza – klasa (quasi-)przestrzeni Banacha uogólniająca przestrzenie Lp. Konstrukcja przestrzeni pochodzi od G. Lorentza[1][2].
Niech (X,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞.
Przestrzenią Lorentza Lp,q nazywa się przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji mierzalnych na X dla których wartość
jest skończona (jest to wówczas quasinorma zupełna w tej przestrzeni).
W przypadku q < ∞, zachodzi następujący wzór
natomiast gdy q = ∞ prawdziwy jest wzór
Umownie, definiuje się L∞,∞(X,μ) = L∞(X,μ). W przypadku, gdy p=q przestrzenie Lorentza są przestrzeniami Lp, tj. Lp,p = Lp.
Wyżej skonstruowane quasi-przestrzenie Banacha można unormować dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞]. Niech f będzie zespoloną funkcją mierzalną na X oraz niech funkcja
będzie zdefiniowana wzorem
gdzie dƒ jest tzw. dystrybuantą funkcji ƒ, daną wzorem
(powyżej umownie przyjęto, że infimum zbioru pustego wynosi ∞.
Dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] funkcja
jest normą w przestrzeni Lorentza Lp,q.
- ↑ G. Lorentz, Some new function spaces, Annals of Mathematics 51 (1950), 37-55.
- ↑ G. Lorentz, On the theory of spaces Λ, Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.