Równanie symetryczne – równanie algebraiczne postaci
gdzie dla każdego i zachodzi ![{\displaystyle a_{n-i}=a_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c89df30b29752c93c657c277a84ed16b6afba0)
Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej
można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej
W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.
Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem
i na podstawie twierdzenia Bézouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez
otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.
Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:
![{\displaystyle a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37915d49b51444d984853779f7eeaa55e8741129)
gdzie
i
dzielimy obie strony równania przez
Grupując wyrazy, otrzymujemy
![{\displaystyle a_{2m}(x^{m}+x^{-m})+a_{2m-1}(x^{m-1}+x^{1-m})+\ldots +a_{m+1}(x+x^{-1})+a_{m}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f9e19129cec66c6d42b43e98fb8ddcda9c8caf)
Podstawmy teraz
Wówczas sumy
można wyrazić jako wielomiany zmiennej
![{\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fcc1ddaebb512b54163388b2227b6b4717be3a)
![{\displaystyle x^{3}+x^{-3}=y^{3}-3y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99183a9cb6e0ca0ca3e2e885c57ea0ace6f2692b)
i ogólnie, korzystając ze związku
![{\displaystyle (x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93f690d9e90d493224a83876155579e371f374e)
czyli
![{\displaystyle x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4ca7ac8f1575c48a26833c6fc1d8bb4b1d4b41)
możemy obliczyć
mając
i
Tak więc po podstawieniu
równanie redukuje się do równania stopnia
![{\displaystyle b_{m}y^{m}+b_{m-1}y^{m-1}+\ldots +b_{1}y+b_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ed72cfd201a6f2d9377b9c3ea71efa43565c71)
Rozwiązując to równanie, ze związku
otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.
- Równanie
gdzie ![{\displaystyle a\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4be4ca48aafe304408dc86889e3c578a7be30f)
Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez
Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:
![{\displaystyle ax^{2}+(b-a)x+a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a06df88e78a3b95555142f50efca288e37d82e)
gdzie ![{\displaystyle \neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfce7d1960a5737d82ad173852e4d1c5f47d9bd)
Dzieląc obustronnie przez
i grupując wyrazy, otrzymujemy
![{\displaystyle a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597852b535c41a9172dd60c7e17b23f691314001)
Podstawiając
mamy
Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe
![{\displaystyle a(y^{2}-2)+by+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39058a99d6bac49fdbf6c0f18dc9f330988270bd)
![{\displaystyle ay^{2}+by+c-2a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5dab187de039554c1660928f45ea722958d2a9c)
i korzystając z tych rozwiązań, obliczyć