Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe
tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego[1]. Oznaczana jest przez
lub
(z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla
i wektora
![{\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c24e91e24e2f6492acf53b8c8ad05046110da6)
W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:
![{\displaystyle d(G\circ F)=i_{rot(F)}\Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caae0da6d8ecd3f7bdb0e8235684183de358807c)
gdzie:
![{\displaystyle (G\circ F)=g(F,\bullet ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054b4fb871562472df243877c78d3af6252ca1d7)
– tensor metryczny,
– zwężenie formy objętości
z rot(F).
Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]
W kartezjańskim układzie współrzędnych
mamy więc
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49a2cb123bd67e2d6549952b018514e2bde5310)
- Notacja macierzowa
W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42abfeddfbe69c7d3bcb399c606ebac688473c78)
gdzie
są wersorami osi
układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:
![{\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c65183a1ca81ab03ae44cf902e3ef345b927f1)
Rotacja w innych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]
W układzie współrzędnych walcowych[2]:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea321428c58e22d050983e9c13c45ac19bbebe2)
W układzie współrzędnych sferycznych[2]:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec8bd5482879bf4e0082eb8e95bf161084e2d03)
W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:
![{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\varepsilon ^{ijk}({\frac {\partial F_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-{\Gamma ^{\ell }}_{ij}F_{\ell }){\vec {e}}_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7b8f5b5c7ef8a71f813c6ad9936951f3413c12)
Oznaczając przez
pola wektorowe, przez
pole skalarne dla
zachodzą następujące własności:
![{\displaystyle \nabla \times (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2deff494cdb4653517fcc6f1be2f3e94ad304b9)
![{\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561f431f6a1ff6e8937b0e8d027605d282ff0d38)
- rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
![{\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {F} )=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d72719352357c7f20094d965e00ab789c59a629)
![{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot \nabla )\mathbf {F} -(\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {G} +\mathbf {F} (\nabla \cdot \mathbf {G} )-\mathbf {G} (\nabla \cdot \mathbf {F} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe5da312b9399ec60261f1b45d35319ea4facab)
- rotacja z rotacji pola wektorowego
![{\displaystyle F{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f66220e0c5ed1421d35ea668aa3028bf0deb40e)
![{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\Delta \mathbf {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72610f79656953b0b434a50269a720033a4de156)
- każde pole o zerowej rotacji
można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że
); zob. twierdzenie Helmholtza.
Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].