Splot lub produkt splotowy – szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.
Niech
i
będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach
oraz
Dla
oraz
definiuje się następujące permutacje
oraz
zbioru
![{\displaystyle h_{\mathrm {y} }\colon {\begin{cases}(\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\mapsto (h\cdot \mathrm {x} ,\mathrm {y} ),\\(\mathrm {x} ,{\hat {\mathrm {y} }})\mapsto (\mathrm {x} ,{\hat {\mathrm {y} }}){\text{ dla }}{\hat {\mathrm {y} }}\neq \mathrm {y} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c49a53b6db40ba1bb2b1ac5f139a551ff21591)
oraz
![{\displaystyle k^{\star }\colon (\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\mapsto (\mathrm {x} ,k\cdot \mathrm {y} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136e56afa170bf27bbe8ea2f95affbf00351664f)
Ponieważ
oraz
to
oraz
istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje
przy ustalonym
oraz
są monomorfizmami odpowiednio grup
oraz
w grupę
o obrazach odpowiednio
oraz
Splotem lub produktem splotowym grup
oraz
nazywa się grupę permutacji na
generowaną przez
i grupy
dla wszystkich
W zapisie symbolicznym
![{\displaystyle H\wr K=\langle H_{\mathrm {y} },K^{\star }\colon \mathrm {y} \in Y\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece83f2d05887ad9d0ffed35baaee147dedaa1bf)
Ponieważ
przekształca
w element
i nie porusza
o ile
to z definicji jest
| | oraz ![{\displaystyle k^{\star }H_{\mathrm {y} }\left(k^{\star }\right)^{-1}=H_{k\cdot \mathrm {y} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2e45ab1087c4247464ae0773b0fee661a95fe3) |
|
(1) |
Ponadto jeśli
to permutacje
i
nie mogą poruszyć tego samego elementu
Wynika stąd, że grupy
generują swój iloczyn prosty
nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:
![{\displaystyle B=\bigoplus _{\mathrm {y} \in Y}H_{\mathrm {y} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ba5d1574e899328386061a1a648c206576f25b)
Zgodnie z (1) sprzężenie elementem
permutuje składniki proste
dokładnie w ten sam sposób, co
elementy
Skoro elementy
oraz
nie mogą poruszać tego samego elementu
to grupa
musi być trywialna. Ponieważ
oraz
to
jest iloczynem półprostym
przez
w którym automorfizm
wyznaczany przez element
zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element
z elementem
czyli przyjmuje
- Jeśli
oraz
działają w sposób przechodni, to również
działa w ten sposób.
- Niech
będzie grupą permutacji zbioru
zaś
będzie bijekcją odwzorowującą
a
funkcją
tzn. dla dowolnego
zachodzi
Wówczas
ustanawia podobieństwo
oraz
Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.
Niech
oraz
będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego
symbol
oznacza grupę izomorficzną z
poprzez przekształcenie
Niech
![{\displaystyle B=\prod _{x\in G}N_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc95286fd48d26865225e8a1f79aeae091b9209)
będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla
oraz
niech działanie
dane będzie wzorem
![{\displaystyle (g\cdot b)_{x}=b_{g^{-1}x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab00e5b6822dbb51b2e27bedd9e30b07d371156)
Powyższe działanie
na
zadaje iloczyn półprosty
który nazywa się standardowym zupełnym splotem
przy czym
nazywa się nośnikiem (ang. base group).