Tożsamość Bineta-Cauchy’ego – tożsamość algebraiczna, dająca następującą równość[1]:
![{\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\bigg )}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\bigg )}+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4737033b2f24fbf065519e144ee04c5654f8917)
Równanie to jest spełnione dla liczb rzeczywistych i zespolonych (lub bardziej ogólnie dla elementów pierścienia przemiennego). Nazwa tożsamości pochodzi od nazwisk francuskich matematyków Augustina-Louisa Cauchy’ego i Jacques’a Philippe’a Bineta. Jeśli
i
to otrzymujemy tożsamość Lagrange’a.
Rozpisujemy ostatnie wyrażenie,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\=&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}\\-&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7d2e1f7c90c1f58598e8f7789f1ece7bbc069b)
i korzystając z przemienności mnożenia, zauważamy, że drugie i czwarte wyrażenia są takie same. Otrzymujemy więc:
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d441f7645a071e4d17358df037019501e50108fd)
co kończy dowód po wymnożeniu wyrazów o indeksie
Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy’ego-Bineta, brzmi następująco: niech
będzie macierzą o wymiarach
a
macierzą o wymiarach
Jeśli
jest podzbiorem
-elementowym zbioru
to
będzie macierzą o wymiarach
której kolumny są kolumnami macierzy
o indeksach ze zbioru
a
macierzą o wymiarach
której wiersze są wierszami macierzy
o indeksach ze zbioru
Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy
i
możemy zapisać jako:
![{\displaystyle \det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\dots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89ca4cdf1f06f8dbbb7aba3d9aef3e3b85521a4)
przy czym suma przebiega po wszystkich
-elementowych podzbiorach zbioru
Jeśli
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9621aa24e3db0119efd0ab6ce0e7ab65f799399)
to uzyskujemy tożsamość Bineta-Cauchy’ego.