Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Trójkąt liczbowy – poglądowy sposób prezentacji kolejnych wyrazów ciągów dwuwymiarowych (z dwiema zmiennymi indeksującymi) postaci:
![{\displaystyle F_{n,k}=f(n,k)F_{n-1,k-1}+g(n,k)F_{n-1,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99367433bad998be38ccc31c2eb15d10fadaea0e)
z warunkami brzegowymi:
gdzie ![{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b53071628a7ab7f86773fd0108a7530e049057c)
Najpopularniejsze trójkąty liczbowe[edytuj | edytuj kod]
przedstawia elementy opisywane przez symbol Newtona o równaniu rekurencyjnym:
![{\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771ae699706c84ac767df08db61d05b72e7ef173)
z warunkami brzegowymi
![{\displaystyle {n \choose 0}=1,\quad {n \choose n}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345b390b3005daa2d2bbc8664b9e0fff337f4384)
|
Trójkąt liczb Stirlinga I rodzaju[edytuj | edytuj kod]
przedstawia liczby Stirlinga I rodzaju, opisywane równaniem rekurencyjnym:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=(n-1)\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fe93e83c915fba7c27d02b424da37bb9533f81)
z warunkami początkowymi
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1,\quad \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=0,\quad \left[{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b22127aaef5c666959a094e5008b8ee023ec580)
|
Trójkąt liczb Stirlinga II rodzaju[edytuj | edytuj kod]
przedstawia liczby Stirlinga II rodzaju, opisywane równaniem rekurencyjnym:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b086d23bba7577c6dd77b8448e26b0c09ea3d297)
z warunkami brzegowymi
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1,\quad \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=0,\quad \left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c48f97d5ad2c22d04ee17e86fdf070e0bd0797)
|
Trójkąt liczb Eulera I rzędu[edytuj | edytuj kod]
przedstawia liczby Eulera I rzędu, postaci:
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle =(k+1)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\rangle +(n-k)\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c0bf64f1a2528942b11704531d19b0f3f158bc)
z warunkami brzegowymi
![{\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\rangle =1,\quad \left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eaff6101e5622013680d7f800f95bfe9425a6cc)
|
Trójkąt liczb Eulera II rzędu[edytuj | edytuj kod]
Przedstawia liczby Eulera II rzędu, postaci:
![{\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle +(2n-1-k)\left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e445c5dfe0362b7997883c3b9372f972ea0283)
z warunkami brzegowymi
![{\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =1,\quad \left\langle \!\!\left\langle {\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\rangle \!\!\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8e7d0cb1fe2e78cf259cf6557f19c8791a2900)
|