Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)
Wygląd
(Przekierowano z Twierdzenie Cauchy'ego (rachunek różniczkowy))
Twierdzenie Cauchy’ego – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym. Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a, a przez to – twierdzenia Rolle’a.
Ma ono ważne zastosowania teoretyczne. Pozwala między innymi oszacować błąd we wzorze Taylora oraz uzasadnić regułę de l’Hospitala.
Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli dane funkcje i są:
- ciągłe w przedziale domkniętym
- różniczkowalne w przedziale
to istnieje punkt należący do przedziału taki, że:
Dowód[edytuj | edytuj kod]
Zdefiniujmy
Zauważmy, że jest różniczkowalna na oraz więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje takie, że Ponadto
co kończy dowód.
Wniosek[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli funkcje i są:
- ciągłe w przedziale domkniętym różniczkowalne w przedziale oraz dodatkowo dla
to istnieje taki punkt że:
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 144. ISBN 83-01-13554-9.
- G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994, s. 199. ISBN 83-01-02175-6.
- Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976, s. 107–108. ISBN 0-07-054235-X.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. Weisstein , Extended Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
- Cauchy theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].