Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć
-tą pochodną iloczynu funkcji[1]. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.
Niech
i
będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu
włącznie. Wtedy pochodna
-tego rzędu iloczynu
wyraża się wzorem:
| | ![{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e9928cf0c4a00e14814589a9e80a6f6cd0f72f) |
|
(1) |
gdzie
to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a
Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leqslant \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1fb40472969fe2b33b34bf070137fe67de2102)
Wzór
![{\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39aa30806e4af33a0492b9073ffeb3098185b80b)
udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na
Dla
otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx^{2}}}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838ff3a3073c9aa340bcd9de4169aa54c9ee238d)
![{\displaystyle f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)=f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b701242ef540b5b0b633ea24603c91fe3acf882c)
Teraz udowodnimy ten wzór dla
przy założeniu, że jest on spełniony dla
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}={\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)\\&=\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59be55f6cf3c56cb69cf7ffddfbab020fb884f39)
Weźmy teraz dla pierwszego członu
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&=\left(\sum _{i'=1}^{n+1}{n \choose i'-1}f^{(i')}(x)g^{(n-i'+1)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right)\\&=\sum _{i=0}^{n+1}\left({n \choose i-1}+{n \choose i}\right)f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)=\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6973a5337fa2beae49f2bda6b590458d269794e9)
Istnieje podobny wzór, zachodzący dla
funkcji
różniczkowalnych i mających pochodne aż do
-tego rzędu włącznie. Pochodna
-tego rzędu iloczynu
wyraża się wzorem:
| | ![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)=\sum _{n_{1}+\ldots +n_{r}=n}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0a811bf106828371c8e9979ab2675def292d40) |
|
(2) |
gdzie
![{\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}:={\frac {n!}{n_{1}!,n_{2}!,\dots ,n_{r}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aefb21f099d9281455b5f22c11903fd1c2dd42e)
oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje
Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na
Dla
wzór (2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1):
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{2}f_{i}(x)&=\sum _{n_{1}+n_{2}=n}{n \choose n_{1},n_{2}}\prod _{i=1}^{2}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{n \choose n_{1},(n-n_{1})}{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{1}!\,(n-n_{1})!}}\,{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e28b2560b0b11d0d12b1eb29d733563a2c00fdd)
Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej
Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla
funkcji
Na początek zapiszmy
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)=\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83092dd43ce8e73042cef29d44438eb6e8bbee3d)
Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji,
oraz
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1ee2d3926c0fcfb9a8814f965e043f2a4c7ea1)
(wyrażenie
odgrywa rolę wskaźnika
i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:
![{\displaystyle \left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c71f38075c8b5f30b01f17a53ca0a53cef2df1d)
Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)\\&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}\left({n \atop n_{r+1}}\right){n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea0d49433e2ce06e49031428a3e6c7d5c24b43)
Korzystając z faktu, że dla liczb
zachodzi
![{\displaystyle {n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}{n \choose n_{r+1}}={\frac {(n-n_{r+1})!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r}!}}\,{\frac {n!}{n_{r+1}!\,(n-n_{r+1})!}}={\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r+1}!}}={n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r},n_{r+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a3c7a1a98a2c6ddd1691dba56000b7d7cdb1c1)
otrzymujemy
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34073acb16998f83c6fc95052e80d886fdd3cbad)
Dla ustalonego
ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci
![{\displaystyle \left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbeb72d124534ffec7aadd9c409c39ce8ee883d)
Dla ustalonego
sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach
których suma daje
Ale ponieważ robimy tak dla każdego
od 0 do
to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach
których suma daje
i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\+n_{r+1}=n\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b55f08798a5533d14537980943db5d957b69f3)
co kończy dowód indukcyjny.