Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.
Załóżmy, że
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~U_{i}^{2}=Q_{1}+\dots +Q_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ae853347d3029722214d869cb65ace713c040d)
gdzie
są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych
takimi że
![{\displaystyle r_{i}+\dots +r_{k}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74a253ad6b91ee8ca5ad3c8084179aa8ab0afad)
gdzie
są rzędami
Zmienne
są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z
stopniami swobody.
Jeśli
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią
i odchyleniem standardowym
wtedy
![{\displaystyle U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e550f4a21bee9952fddb3596145153a26a61a275)
ma standardowy rozkład normalny dla każdego
Możemy zapisać:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}+{\overline {X}}-{\overline {X}}-\mu )^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d2aeb40173179eb074984b619bbabfaee0e1d7)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}~({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1ec26939b980edd3fe9d604c10e8b7258a408f)
Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce83c29b7044462b9be1728e6828dc2a6a86df24)
natomiast drugi składnik jest sumą
identycznych stałych.
Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez
otrzymujemy:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}~\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}~\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547158a094046929a3d4ecdf407dc5474e3a0fb9)
Ranga
wynosi
(jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga
być z kolei obliczona jako
Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład
ze stopniami swobody odpowiednio
i
To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:
![{\displaystyle ({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2765d2094ab60dd9cdf116acf5e625e48cda78c)
Jako estymatora wariancji
używa się często:
![{\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum ~\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d48efbe8842b916f1889d29398515110d737ac9)
Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:
![{\displaystyle {\hat {\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{n-1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854e14cbe7f241e3d1d09760ebb5149c8dc2148e)
z czego wynika, że wartością oczekiwaną
jest