Twierdzenie Greena-Tao
Twierdzenie Greena-Tao – twierdzenie teorii liczb, mówi, że zbiór liczb pierwszych zawiera ciągi arytmetyczne dowolnej długości. Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez Bena Greena i Terrence’a Tao w 2004 r. Historię tego problemu można zaobserwować już w rozważaniach Lagrange’a i Waringa ok. 1770 r.[1]
Treść twierdzenia[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Wówczas dla dowolnego będącego zbiorem liczb pierwszych, jeśli
to dla dowolnej liczby naturalnej zbiór zawiera -wyrazowy ciąg arytmetyczny. W szczególności, cały zbiór liczb pierwszych zawiera ciągi arytmetyczne dowolnej długości.
W swojej późniejszej pracy o uogólnionej hipotezie Hardy’ego-Littlewooda Green i Tao postawili i warunkowo udowodnili, że wyrażenie
opisuje asymptotycznie zachowanie liczby -krotek liczb pierwszych które tworzą ciąg arytmetyczny. Stała oznacza tutaj
Wynik ten został udowodniony bez warunkowo przez Greena i Tao[2] oraz Greena, Tao i Zieglera[3].
Strategia dowodu[edytuj | edytuj kod]
Dowód twierdzenia składa się z trzech najważniejszych punktów.
- Twierdzenie Szemerédiego, które mówi, że każdy zbiór o dodatniej gęstości górnej zawiera ciągi arytmetyczne dowolnej długości. Twierdzenie to nie stosuje się wprost do liczb pierwszych, ponieważ ich gęstość górna jest zerowa.
- Rozszerzenie twierdzenia Szemerédiego na podzbiory liczb całkowitych, które są pseudolosowe (w określonym sensie). Takie twierdzenie nazywa się relatywnym twierdzeniem Szemerédiego.
- Pseudolosowy podzbiór liczb całkowitych zawierający liczby pierwsze jako zbiór gęsty. Aby skonstruować taki zbiór, Green i Tao korzystają z metod stosowanych w przypadku sita Goldstona, Pintza i Yıldırıma[4].
Znane są w literaturze liczne uproszczenia pierwotnego dowodu[5].
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Benjamin Green , Terence Tao , The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, „Annals of Mathematics”, 167 (2), 2008, s. 481–547, DOI: 10.4007/annals.2008.167.481, ISSN 0003-486X [dostęp 2023-12-09] (ang.).
- ↑ Ben Green , Terence Tao , The Möbius function is strongly orthogonal to nilsequences, „Annals of Mathematics”, 175 (2), 2012, s. 541–566, DOI: 10.4007/annals.2012.175.2.3, ISSN 0003-486X [dostęp 2023-12-09] (ang.).
- ↑ Ben Green , Terence Tao , Tamar Ziegler , An inverse theorem for the Gowers U^(s+1)[N]-norm, „Annals of Mathematics”, 176 (2), 2012, s. 1231–1372, DOI: 10.4007/annals.2012.176.2.11, ISSN 0003-486X [dostęp 2023-12-09] (ang.).
- ↑ Daniel Goldston , János Pintz , Cem Yıldırım , Primes in tuples I, „Annals of Mathematics”, 170 (2), 2009, s. 819–862, DOI: 10.4007/annals.2009.170.819, ISSN 0003-486X [dostęp 2023-12-09] (ang.).
- ↑ David Conlon , Jacob Fox , Yufei Zhao , The Green-Tao theorem: an exposition, „EMS Surveys in Mathematical Sciences”, 1 (2), 2014, s. 257–291, DOI: 10.4171/EMSS/6, ISSN 2308-2151 [dostęp 2023-12-09] (ang.).