Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Ilustracja Twierdzenia Napoleona
Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.
Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych
Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta
są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz
![{\displaystyle {\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9d03cb8f8a6cfcdc3720f87c3813cb0b1a3145)
Stąd
![{\displaystyle \sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a1d824906622a2a6b30e264e62226a0d732a4f)
Ponieważ
![{\displaystyle {\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff4b3d4cd760e4b2c2ce7d22f5b20ee8ad3d45b)
więc
i
są podobne. Zatem
![{\displaystyle |MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0bb099fce8ad1f1b5d5877a4af68b13a11451e)
Analogicznie pokazujemy, że
i
są podobne, więc
![{\displaystyle |LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f82b3e0c461a89f50f316e4fac2767b7eac45f)
Stąd
Analogicznie pokazujemy, że
więc
jest równoboczny.