Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga – odpowiednik twierdzenia Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a dla algebr Heytinga. Twierdzenie to mówi, że każda algebra Heytinga jest izomorficzna z pewną podalgebrą topologicznej algebry Heytinga swojej przestrzeni Stone’a.
|
Ten artykuł należy dopracować:warto przedstawić niżej dokładną treść twierdzenia. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
- Definicja
oraz przestrzeni Stone’a dla algebry Heytinga ![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)
Niech
będzie algebrą Heytinga z uniwersum
Algebry Heytinga są wzbogaceniem krat rozdzielnych, a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}:\,a\in F\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ae687224382d68012cd408e5e57372d814a43b)
jest izomorfizmem krat.
W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\varnothing ,\,{\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af14556a471758b291bd89df44445bf0a7bc0da)
Niech teraz
będzie najmniejszą topologią na
w której wartościami odwzorowania
są zbiory otwarte. Okazuje się, że
jest bazą tej przestrzeni.
Topologię tę nazywamy topologią Stone’a. Przestrzeń
nazywamy przestrzenią Stone’a algebry
jest homomorfizmem algebr Heytinga
i algebry topologicznej ![{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathcal {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6a05beb33df83fcd7b8e96ebc54c8b7db762c4)
Należy jeszcze pokazać, że
zachowuje działanie
czyli że
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e8252838e9df6ebef51565b86c2250d0b0c5a5)
Skoro
jest izomorfizmem krat, to
skąd ![{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9536a9725a66b5cddb110615f0f96150b2a140)
Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech
Wówczas, skoro
jest bazą topologii Stone’a, istnieje
dla którego
skąd
czyli ![{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(c\sqcap a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85be80c39eea4c6ae91af206236a703c1e364ff6)
Ponieważ
jest izomorfizmem, znaczy to, że
czyli, że
a stąd
co było do pokazania.
- Wymiar i topologia przestrzeni Stone’a
Załóżmy teraz, że
jest wzbogaceniem algebry Boole’a.
Wówczas:
- Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
- Jeśli
to
dla ![{\displaystyle F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f63c6868c3f957933a7923f6c40b0cea06bacf)
Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone’a jest zerowymiarowa, bo jej baza
składa się z elementów otwarto-domkniętych, co wynika stąd, że
Jeśli teraz
są różne, to istnieją
i
Wówczas też jednak
i
skąd
i
Oczywiście
oraz
zaś zbiory
i
są rozłączne. W ten sposób pokazaliśmy, że przestrzeń Stone’a jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.
- Zwartość przestrzeni Stone’a
Załóżmy teraz, że
dla pewnej rodziny
elementów algebry
Niech dalej, dla
funkcja
będzie funkcją charakterystyczną zbioru
Wówczas
gdzie
jest dwuelementową algebrą Boole’a, oraz
![{\displaystyle F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\;\Leftrightarrow \;a\in F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;(\chi _{F}(a)=1)\wedge (F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}})\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,{\grave {}}\,{\grave {}}\{1\},\;a\in |{\mathcal {H}}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877af95c0d1c0554b1410872d00a1a4d983a1a58)
gdzie
jest funkcją rzutu na
-tą
współrzędną potęgi
przestrzeni dyskretnej
Tym samym, warunek
równoważny jest warunkowi
Ponieważ produkt
zwartych przestrzeni Hausdorffa, na mocy BPI, jest przestrzenią zwartą, a
jest domknięty w
zaś zbiory
są otwarte w topologii indukowanej na
istnieje skończone
dla którego
co oznacza, że
Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone’a algebry Boole’a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.
- Wniosek
- Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.
- Uwaga
- Zgodność odwzorowania Stone’a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\emptyset \quad {\mbox{i}}\quad {\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907ab09c4ab8e007b2c7589d7374580717a17d31)