Uzwarcenie Wallmana

W matematyce, dokładniej w topologii, uzwarcenie (lub rozszerzenie) Wallmana to uzwarcenie, które można traktować jako namiastkę uzwarcenia Čecha-Stone’a dla przestrzeni $T_{1}$.

Konstrukcja

Niech $X$ będzie $T_{1}$-przestrzenią, ${\mathfrak {D}}(X)$ rodziną jej wszystkich podzbiorów domkniętych, a $F(X)$ rodziną wszystkich ultrafiltrów w ${\mathfrak {D}}(X).$ Dla każdego ultrafiltru ${\mathfrak {F}}\in F(X)$ przekrój $\bigcap _{V\in {\mathfrak {F}}}V$ jest albo zbiorem jednopunktowym (tzn. jest to ultrafiltr postaci ${\mathfrak {F}}_{x}=\{V\in {\mathfrak {D}}(X):x\in V\}$) albo zbiorem pustym. Pozwala to utożsamiać ${\mathfrak {F}}_{x}$ z punktem $x.$

Przyjmijmy $\omega X=X\cup F_{0}(X),$ gdzie $F_{0}(X)$ jest podzbiorem ultrafiltrów z $F(X)$ o pustym przekroju. Jeżeli $U\subseteq X$ jest zbiorem otwartym, to niech $U^{*}=U\cup \{{\mathfrak {F}}\in F_{0}(X):{\textrm {istnieje}}\ A\in {\mathfrak {F}},{\text{że }}A\subseteq U\}.$ Rodzina wszystkich zbiorów postaci $U^{*},$ gdzie $U\subseteq X$ jest otwarty, stanowi bazę pewnej topologii na $\omega X.$ Zbiór $\omega X$ wyposażony w tę topologię nazywamy uzwarceniem (lub rozszerzeniem) Wallmana.

Własności

• Przestrzeń $\omega X$ jest zwartą. $T_{1}$-przestrzenią.
• Przestrzeń $X$ jest podprzestrzenią gęstą $\omega X.$
• Każde odwzorowanie ciągłe $f:X\to Z,$ gdzie $Z$ jest przestrzenią zwartą Hausdorffa można przedłużyć do odwzorowania $\omega X\to Z.$
• Przestrzeń $\omega X$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń $X$ jest normalna.
• Jeżeli $X$ jest normalna, to rozszerzenie Wallmana $\omega X$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$ równoważnym uzwarceniu Čecha-Stone’a $\beta X$.

Zobacz też

• uzwarcenie Čecha-Stone’a