Wikiprojekt:SKFiz/brudnopis/Rachunek wariacyjny
Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.
Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.
Przykładowe zagadnienia[edytuj | edytuj kod]
Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.
W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( z metryką euklidesową) z krzywa łącząca punkty i dana jest funkcją , taką, że i , gdzie .
Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)
- gdzie to małe zmiany współrzędnych.
Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:
Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa dana jest równaniem:
- .
Zasada Fermata[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej, dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.
Czas, w którym światło pokonuje drogę wynosi gdzie , jest prędkością światła w ośrodku, to prędkością światła w próżni a to współczynnikiem załamania światła.
Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:
W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:
gdzie to krzywa, po której porusza się promień, taka, że i .
Metody rachunku wariacyjnego[edytuj | edytuj kod]
Równania Eulera-Lagrange'a[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Ją to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.
Jeśli funkcjonał ma postać
to równania E-L mają postać
Gdzie może być liczbą rzeczywistą albo wektorem - w tym drugim przypadku dostajemy układ równań
gdzie jest współrzędną.
Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które są w ogólności bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje również fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212-232. ISBN 978-83-01-14674-0.
- Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45-53.