Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.
Niech:
– cena opcji kupna,
– aktualna cena instrumentu bazowego,
– cena rozliczenia opcji,
– termin wygaśnięcia opcji (liczony w latach),
– wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji (stawka wyrażona w skali roku),
– dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego,
– współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (ang. volatility).
![{\displaystyle C=S\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86860a477f853d6eaa0acea9373f01b997ff368b)
– cena opcji sprzedaży
![{\displaystyle P=Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-S\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0fdd55606357815d2199ecb98f4b009046cece)
Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.
W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.
Cena rynkowa w chwili realizacji
jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:
![{\displaystyle E\left(S_{T}-X\right)^{+}=\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a8c2ba41acacd53eae66aa3ca9a05e6ea1f83d)
Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu
jest warta
wartość opcji jest
razy mniejsza od spodziewanego zysku:
![{\displaystyle C=e^{-rT}\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}=e^{-rT}\left(\int \limits _{X}^{+\infty }S_{T}P(S_{T})dS_{T}-\int \limits _{X}^{+\infty }XP(S_{T})dS_{T}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e56fc77839eef1ff5e9bb5da4195fa31ca6debf)
gdzie
– cena akcji w chwili
– jest zmienną losową.
Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu
![{\displaystyle Y_{k}=\ln {\frac {S_{k+1}}{S_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe2fdfc0c6bacb61f20416ebd74ca9d2889a117)
jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym
i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku –
Tak więc
![{\displaystyle S_{T}=S_{0}\times e^{\ln {\frac {S_{1}}{S_{0}}}}\times e^{\ln {\frac {S_{2}}{S_{1}}}}\times \ldots \times e^{\ln {\frac {S_{T}}{S_{T-1}}}}=S_{0}e^{Y_{0}+\ldots +Y_{T-1}}=S_{0}e^{Y},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e59c9613ea72758a9b989681ac3007cefea5ae9)
gdzie
jest sumą
niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład
![{\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{T}>X}S_{T}P(S_{T})dS_{T}-X\int \limits _{S_{T}>X}P(S_{T})dS_{T}\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(S_{0}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P(Y)dY\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082d58a10efd552d515acc0bb5c3d8dc5d946ebe)
Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej
i wariancji
Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.
możemy standaryzować, odejmując średnią
i dzieląc przez odchylenie standardowe
w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.
![{\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY\\&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014c757d01fc74973b1068f2c5be967fd35c8034)
Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:
![{\displaystyle e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)=e^{Y}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}}{\sigma ^{2}T}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}+2\sigma ^{2}TY}{\sigma ^{2}T}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24e9dba58ea77ce3448186ff0e3e23a16e53a3c)