Algebra Jiang-Su

Algebra Jiang-Su (oznaczana jest zwykle symbolem ℨ) – pierwszy przykład nuklearnej, prostej, stabilnie skończonej, C*-algebry z jedynką, która ma taką samą K-teorię jak algebra liczb zespolonych $\mathbb {C} .$ Algebra Jiang-Su jest obiektem istotnym z punktu widzenia programu klasyfikacji C*-algebr; algebra ℨ została skonstruowana przez Jiang Xinhuia and Su Hongbinga w 1999 roku. Algebra ℨ odgrywa podobną rolę w teorii C*-algebr do hiperskończonego faktora typu II₁ w teorii algebr von Neumanna.

Opis konstrukcji

Algebrę ℨ można opisać jako granicę prostą algebr $\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]$ opisanych niżej.

Algebry I[m₀, m, m₁]

Niech $m_{0},m,m_{1}$ są takimi liczbami naturalnymi, że $m_{0}$ i $m_{1}$ dzielą $m$ oraz niech

$\mathrm {I} [m_{1},m,m_{2}]=\left\{f\in C\left([0,1],M_{m}\right)\colon f(0)\in M_{\frac {m}{m_{0}}},f(1)\in M_{\frac {m}{m_{1}}}\right\}.$

Wówczas $\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]$ jest C*-algebrą, która nie ma nietrywialnych rzutów wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $m_{0}$ i $m_{1}$ są względnie pierwsze.

K-teoria

Niech $A=\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}].$ Wówczas

• $(K_{0}(A),K_{0}(A)^{+},[1_{A}])=(\mathbb {Z} ,\mathbb {N} ,{\text{nwd}}(m_{0},m_{1})),$
• $K_{1}(A)=\mathbb {Z} _{p},$ gdzie $p=m\cdot {\text{nwd}}(m_{0},m_{1})/(m_{0}m_{1}).$

gdzie:

${\text{nwd}}$ – największy wspólny dzielnik.

W szczególności $A=\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]$ ma taką samą K-teorię jak $\mathbb {C}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m_{0}$ i $m_{1}$ są względnie pierwsze.

Konstrukcja ℨ

Istnieje ciąg induktywny

$A_{1}\,{\stackrel {\phi _{1}}{\longrightarrow }}\,A_{2}\,{\stackrel {\phi _{2}}{\longrightarrow }}\,A_{3}\,{\stackrel {\phi _{3}}{\longrightarrow }}\dots ,$

gdzie $A_{n}=\mathrm {I} [p_{n},d_{n},q_{n}],{\text{nwd}}(p_{p},q_{n})=1$ oraz odwzorowania $\phi _{m,n}=\phi _{n-1}\circ ...\circ \phi _{m+1}\circ \phi _{m}:A_{m}\to A_{n}$ są postaci

$\phi _{m,n}(f)=u^{*}\left[{\begin{array}{c}f\circ \xi _{1}&0&\ldots &0\\0&f\circ \xi _{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &f\circ \xi _{n}\end{array}}\right]u,$

przy czym $u$ jest pewną ciągłą drogą w grupie $U(d_{n})$ macierzy unitarnych stopnia $d_{n}$ oraz $(\xi _{k})_{k\leqslant n}$ jest takim ciągiem ciągłych dróg w przedziale [0,1], że

$|\xi _{i}(x)-\xi _{i}(y)|\leqslant \left({\frac {1}{2}}\right)^{n-m}\;\;(x,y\in [0,1],i\leqslant n).$

Algebra ℨ jest granicą induktywną powyższego ciągu przy czym jest ona jednoznaczna ze względu na dobór ciągu algebr $A_{1},A_{2},A_{3},...$ jak wyżej.