Algebra wolna

Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.

Definicja

Niech $K$ będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech $A\in K.$ Podzbiór $S\subseteq A$ nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry $A$ w klasie $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia $f\colon S\to B\in K$ istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm $h\colon A\to B,$ że

$h|_{S}=f.$

Jeśli dla danej algebry $A$ istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie $K,$ to nazywamy ją algebrą wolną w klasie $K.$

Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.

Własności

• Jeśli $K$ jest klasą algebr, a $S$ jest zbiorem wolnych generatorów algebry $A$ w klasie $K,$ to $S$ generuje algebrę $A,$ tzn. $A$ jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór $S.$
• Jeśli $K$ jest klasą algebr, $S_{1},S_{2}$ zbiorami wolnych generatorów algebr $A_{1},A_{2}$ w klasie $K,$ to każde przekształcenie $f\colon S_{1}\to S_{2}$ można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu $h\colon A_{1}\to A_{2}.$ Homomorfizm $h$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.
• Jeśli $A_{1},A_{2}$ są algebrami wolnymi w $K$ oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.

Przykłady

• Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej jest grupą wolną.
• Baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wolnych generatorów (twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) – innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Free algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].