Całka Birkhoffa

Całka Birkhoffa – jedno z możliwych pojęć całki dla funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha, wprowadzone przez Garretta Birkhoffa w roku 1935. Pojęcie całkowalności funkcji w sensie Birkhoffa jest silniejsze od całkowalności sensie Pettisa, ale słabsze od całkowalności w sensie Bochnera.

Konstrukcja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną oraz $X$ będzie przestrzenią Banacha.

• Przeliczalną rodzinę $\Gamma \subseteq {\mathcal {A}}$ nazywamy partycją przestrzeni $\Omega$ jeżeli

$\bigcup \Gamma =\Omega .$

• Jeżeli $\Gamma =\{A_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ jest partycją przestrzeni $\Omega ,$ to funkcję $f\colon \Omega \to X$ nazywamy sumowalną względem partycji $\Gamma$ (albo $\Gamma$-sumowalną) jeżeli dla każdego zbioru $A_{n}\in \Gamma$ takiego, że $\mu (A_{n})>0$ funkcja $f\upharpoonright A_{n}$ jest ograniczona oraz zbiór $J(f,\Gamma )$ składa się z szeregów bezwarunkowo zbieżnych, gdzie

$J(f,\Gamma )=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }f(t_{n})\mu (A_{n})\colon \,t_{n}\in A_{n}\right\}.$

• Funkcję $f\colon \Omega \to X$ nazywamy całkowalną w sensie Birkhoffa jeżeli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje partycja $\Gamma =\{A_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ zbioru $\Omega$ względem której funkcja $f$ jest sumowalna oraz

${\mbox{diam}}\,J(f,\Gamma )<\varepsilon .$

• Twierdzenie Birkhoffa: Jeżeli $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to

$\left|\bigcap \left\{{\mbox{cl conv}}J(f,\Gamma )\colon \,f{\mbox{ - }}\Gamma {\mbox{-sumowalna}}\right\}\right|=1.$

W powyższym wzorze cl oznacza domknięcie zbioru w sensie normy przestrzeni X natomiast conv oznacza otoczkę wypukłą.

Jeżeli $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to jedyny punkt zbioru

$\bigcap \left\{{\mbox{cl conv}}J(f,\Gamma )\colon \,f{\mbox{ - }}\Gamma {\mbox{-sumowalna}}\right\}$

nazywamy całką Birkhoffa z funkcji $f$ względem miary $\mu$ i oznaczamy

$(B)\int _{\Omega }f\,d\mu .$