Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Całka Jacksona – szereg wyrażający operację odwrotną do
q
{\displaystyle q}
Niech
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
.
{\displaystyle x.}
f
{\displaystyle f}
∫
f
(
x
)
d
q
x
=
(
1
−
q
)
x
∑
k
=
0
∞
q
k
f
(
q
k
x
)
.
{\displaystyle \int f(x)\operatorname {d} _{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}
Ogólniej, jeżeli
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
D
q
g
{\displaystyle \operatorname {D} _{q}g}
q
{\displaystyle q}
∫
f
(
x
)
D
q
g
d
q
x
=
(
1
−
q
)
x
∑
k
=
0
∞
q
k
f
(
q
k
x
)
D
q
g
(
q
k
x
)
=
(
1
−
q
)
x
∑
k
=
0
∞
q
k
f
(
q
k
x
)
g
(
q
k
x
)
−
g
(
q
k
+
1
x
)
(
1
−
q
)
q
k
x
{\displaystyle \int f(x)\operatorname {D} _{q}g\operatorname {d} _{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\operatorname {D} _{q}g(q^{k}x)=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\frac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}}}
lub
∫
f
(
x
)
d
q
g
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
f
(
q
k
x
)
(
g
(
q
k
x
)
−
g
(
q
k
+
1
x
)
)
,
{\displaystyle \int f(x)\operatorname {d} _{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)(g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}
co daje
q
{\displaystyle q}
całki Riemanna-Stieltjesa .
Całka Jacksona jako q -pierwotna [ edytuj | edytuj kod ] Tak jak zwykła pierwotna funkcji ciągłej może być wyrażona za pomocą jej całki Riemanna , tak możliwe jest wykazanie, że całka Jacksona jednoznacznie wyznacza
q
{\displaystyle q}
Niech
0
<
q
<
1.
{\displaystyle 0<q<1.}
|
f
(
x
)
x
α
|
{\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}
[
0
,
A
)
{\displaystyle [0,A)}
0
⩽
α
<
1
,
{\displaystyle 0\leqslant \alpha <1,}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
[
0
,
A
)
{\displaystyle [0,A)}
q
{\displaystyle q}
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x).}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
x
=
0
,
{\displaystyle x=0,}
F
(
0
)
=
0
{\displaystyle F(0)=0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[1]
↑ Kac-Cheung, Twierdzenie 19.1.
