Diagonalizacja endomorfizmu

Diagonalizacja endomorfizmu $f$ skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej $V$ – proces znajdowania bazy $B$ przestrzeni $V,$ w której macierz $M_{f}(B)$ jest diagonalna.

Endomorfizm nazywamy diagonalizowalnym, jeśli taka baza istnieje.

Wektory własne

Niech $\dim V=n<\infty .$ Endomorfizm $f\colon V\longrightarrow V$ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza $B$ przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.

Dowód

Diagonalizowalność endomorfizmu $f$ jest równoważna istnieniu w przestrzeni $V$ „diagonalnej” bazy $B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\},$ dla której

$M_{f}(B)={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ldots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.$

Ponieważ w tej bazie $i$-ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora $f(v_{i})$ w bazie $B=\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\},$ tzn.

$f(v_{i})=0\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+\ldots +0\cdot v_{i-1}+\lambda _{i}v_{i}+0\cdot v_{i+1}+\ldots +0\cdot v_{n}=\ \lambda _{i}v_{i},$

więc wszystkie wektory $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ są wektorami własnymi endomorfizmu $f$ $\blacksquare .$

Wniosek

Jeżeli $f$ jest endomorfizmem diagonalizowalnym i $D=M_{f}(B)$ jest macierzą diagonalną, to baza $B$ składa się z wektorów własnych endomorfizmu $f,$ a przekątna macierzy $D$ składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu $f$ (z zachowaniem odpowiedniej kolejności).

Warunek wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu

Niech $\dim V=n.$ Warunkiem wystarczającym na diagonalizowalność endomorfizmu $f\colon V\longrightarrow V$ jest, aby wielomian charakterystyczny endomorfizmu $f$ miał n różnych wartości własnych.

Uwaga:

Jeżeli $\lambda _{0}$ jest wartością własną endomorfizmu $f$ o krotności $k_{0}$ (jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), to dla podprzestrzeni $V_{0}$ odpowiadającej wartości własnej $\lambda _{0}{:}$

$1\leqslant \dim V_{0}\leqslant k_{0}.$

Liczbą $k_{0}$ nazywamy wówczas krotnością algebraiczną, a liczbę $\dim V_{0}$ nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej $\lambda _{0}.$

Warunek konieczny i wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu

Niech $\dim V=n.$ Endomorfizm $f\colon V\longrightarrow V$ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

• wielomian charakterystyczny endomorfizmu $f$ ma postać $\Delta (\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )^{k_{1}}\cdot (\lambda _{2}-\lambda )^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot (\lambda _{p}-\lambda )^{k_{p}},$

gdzie $k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{p}=n$ oraz $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ dla $i,j\in \{1,2,\dots ,p\},\ i\neq j,$

• $V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus \ldots \oplus V_{p},$

gdzie $V_{i}<V$ jest podprzestrzenią przestrzeni $V$ odpowiadającą wartości własnej $\lambda _{i}$ oraz $\dim V_{i}=k_{i}.$

Przykład

Diagonalizacja endomorfizmu $f\colon \mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},x_{3})\longrightarrow (-x_{1}-3x_{3},3x_{1}+2x_{2}+3x_{3},-3x_{1}-x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}{:}$

Niech $B$ będzie bazą kanoniczną w $\mathbb {R} ^{3}$

$A=M_{f}(B)={\begin{bmatrix}-1&0&-3\\3&2&3\\-3&0&-1\end{bmatrix}}.$

Niech $\Delta (\lambda )$ będzie wielomianem charakterystycznym macierzy $A$

$\Delta (\lambda )={\begin{vmatrix}-1-\lambda &0&-3\\3&2-\lambda &3\\-3&0&-1-\lambda \end{vmatrix}}=-(\lambda -2)^{2}\cdot (\lambda +4).$

Wówczas

$\lambda _{1}=2,\ \ k_{1}=2,$

$\lambda _{2}=-4,\ \ k_{2}=1.$

Konstrukcja przestrzeni własnej $V_{1}$ odpowiadającej wartości własnej $\lambda _{1}=2{:}$

${\begin{bmatrix}-3&0&-3\\3&0&3\\-3&0&-3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\ \ \Leftrightarrow \ -3x_{1}-3x_{3}=0\ \Leftrightarrow \ x_{1}=-x_{3}.$

Stąd

$V_{1}=\{(-\alpha ,\beta ,\alpha ):\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}=\{\alpha (-1,0,1)+\beta (0,1,0):\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}=\operatorname {Lin} \{(-1,0,1),(0,1,0)\}.$

Wektory $(-1,0,1),(0,1,0)$ są oczywiście liniowo niezależne i stanowią bazę $B_{1}$ przestrzeni $V_{1}.$

Konstrukcja przestrzeni własnej $V_{2}$ odpowiadającej wartości własnej $\lambda _{2}=-4{:}$

${\begin{bmatrix}3&0&-3\\3&6&3\\-3&0&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\ \ \Leftrightarrow \ 3x_{1}-3x_{3}=0\ \wedge \ 3x_{1}+6x_{2}+3x_{3}=0\Leftrightarrow \ x_{1}=x_{3}\ \wedge \ x_{1}=-x_{2}.$

Stąd

$V_{2}=\{(\alpha ,-\alpha ,\alpha ):\alpha \in \mathbb {R} \}=\{\alpha (1,-1,1)):\alpha \in \mathbb {R} \}=\operatorname {Lin} \{(1,-1,1)\}.$

Wektor $(1,-1,1)$ jest bazą $B_{2}$ przestrzeni $V_{2}.$

Ostatecznie

• $\dim V_{1}=2=k_{1},$
• $\dim V_{2}=1=k_{2},$

więc $f$ jest endomorfizmem diagonalizowalnym.

Bibliografia

• Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas: Algebra liniowa 2: definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. VI rozszerzone. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 145, seria: Matematyka dla Studentów Politechniki Wrocławskiej. ISBN 978-83-85941-89-7. OCLC 69535787.