Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Dziedzina otwarta – w przestrzeni topologicznej zbiór , który jest równy wnętrzu swojego domknięcia .
Niech
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
będzie przestrzenią topologiczną. Zbiór
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
jest dziedziną otwartą wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi
A
=
int
(
A
¯
)
{\displaystyle A=\operatorname {int} ({\overline {A}})}
[1] . Rodzinę dziedzin otwartych przestrzeni
X
{\displaystyle X}
oznacza się
D
(
X
)
.
{\displaystyle D(X).}
Algebra Boole’a rodziny dziedzin otwartych [ edytuj | edytuj kod ]
Niech
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
będzie przestrzenią topologiczną, a
D
(
X
)
{\displaystyle D(X)}
rodziną dziedzin otwartych tej przestrzeni. Określa się działania następująco:
A
+
B
=
int
(
A
∪
B
¯
)
,
{\displaystyle A+B=\operatorname {int} ({\overline {A\cup B}}),}
A
⋅
B
=
A
∩
B
,
{\displaystyle A\cdot B=A\cap B,}
−
A
=
int
(
X
∖
B
)
.
{\displaystyle -A=\operatorname {int} (X\setminus B).}
Ponadto przyjmuje się:
0
=
∅
{\displaystyle 0=\emptyset }
i
1
=
X
.
{\displaystyle 1=X.}
Wtedy
(
X
,
+
,
⋅
,
−
,
0
,
1
)
{\displaystyle (X,+,\cdot ,-,0,1)}
jest zupełną algebrą Boole’a [1] .
↑ a b Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości . Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 30.