Ekstensor

Ekstensor – przestrzeń metryczna X spełniająca warunek:

$\forall _{Y}\forall _{B\subset Y,B-domk.}\forall _{f\colon B\to X}\exists _{g\colon Y\to X}\quad g|_{B}=f.$

Słownie: $X$ ma własność przedłużania odwozorowań. Dokładniej: każde odwzorowanie ciągłe o wartościach w $X,$ które jest zadane na domkniętym podzbiorze pewnej przestrzeni metrycznej, można przedłużyć na całą przestrzeń. Fakt, że przestrzeń $X$ jest ekstensorem, będziemy zapisywać jako $X\in ES.$

Uwaga: rozpatrujemy ekstensory w kategorii przestrzeni metrycznych (rozumianej tu jako podkategoria kategorii Top przestrzeni topologicznych z przekształceniami ciągłymi).

Uwaga: ES(metr) = AR(metr), tzn. klasa ekstensorów metrycznych pokrywa się z klasą absolutnych retraktów metrycznych wprowadzonych przez K. Borsuka.

Twierdzenie Zachodzą następujące warunki:

a) $X\in ES\quad \wedge \quad Z\approx X\quad {}$ (homeomorfizm) ${}\quad \Rightarrow \quad Z\in ES,$

b} $X\in ES\quad \wedge \quad A-retrakt\quad {}$ (retrakt) ${}\quad X\quad \Rightarrow \quad A\in ES,$

c) $X_{1},X_{2}\in ES\quad \Rightarrow \quad X_{1}\times X_{2}\in ES.$

Przykłady

1. (pozytywny) Podzbiór wypukły $W$ przestrzeni unormowanej $E$ jest ekstensorem.

Uzasadnienie: Weźmy dowolną przestrzeń $Y,$ jej podzbiór domknięty $B$ oraz przekształcenie $f\colon B\to W.$

Na mocy twierdzenia Dugundji (uogólnienia twierdzenia Tietzego na przypadek przestrzeni unormowanej zamiast euklidesowej w przeciwdziedzinie) dla $f$ istnieje przedłużenie $g\colon Y\to E$ o tej własności, że $g(Y)\subset convf(B)\subset convW=W.$ Zadając $f_{1}\colon Y\to W$ wzorem $f_{1}(y)=g(y)$ (zawężamy dziedzinę), uzyskujemy szukane przedłużenie.

2. (negatywny) Przestrzeń $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ nie jest ekstensorem.

Uzasadnienie: Przyjmijmy $Y=\mathbb {R} ,B=\{0,1\}$ – podzbiór domknięty $Y$ i weźmy $f\colon \{0,1\}\to \mathbb {R} \backslash \{0\}$ dane jako $\mathbb {} f(0)=-3,f(1)=3.$ Funkcji tej nie da się przedłużyć do $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \backslash \{0\},$ gdyż przedłużenie musiałoby mieć własność Darboux, a w szczególności zajść by musiało $0\in (-3,3)\quad 0\in g(\mathbb {R} )\subset \mathbb {R} \backslash \{0\},$ co jest niemożliwe.

Bibliografia

• J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory.
• L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków.