Element całkowity

Element całkowity – uogólnienie pojęcia elementu algebraicznego na pierścienie całkowite.

Definicja

Niech $P,R$ będą pierścieniami całkowitymi oraz $P\subseteq R.$ Element $a\in R$ nazywamy całkowitym nad $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian unormowany $f\in P[x]$ taki, że $f(a)=0.$

Zbiór wszystkich elementów całkowitych pierścienia $R$ nad $P$ oznaczamy $C_{R}(P).$

Liczbę algebraiczną nazywamy liczbą algebraiczną całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita nad $\mathbb {Z} .$

Liczby algebraiczne całkowite

Jeśli $d\neq 1$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to

$C_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}(\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{l}\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}],\;d\equiv 2(\operatorname {mod} \,4)\vee d\equiv 3(\operatorname {mod} \,4)\\\mathbb {Z} [{\tfrac {1+{\sqrt {d}}}{2}}],\;d\equiv 1(\operatorname {mod} \,4)\end{array}}\right..$