Funkcja Wanniera

Funkcja Wanniera

Funkcje Wanniera – zbiór zupełny funkcji ortogonalnych używany jako baza w fizyce ciała stałego. Pierwszy raz zostały zaproponowane przez G. Wanniera.

Funkcje Wanniera dla różnych węzłów sieci w krysztale są do siebie wzajemnie ortogonalne, przez co stanowią wygodną bazę do rozwinięć perturbacyjnych, w szczególności stanowią podstawę modelu ciasnego wiązania.

Definicja

Funkcje Wanniera można zdefiniować na wiele różnych sposobów, przy czym oryginalna definicja, najczęściej używana w fizyce ciała stałego oparta jest o funkcje Blocha.

Wybierzmy pojedyncze pasmo w idealnym krysztale i oznaczmy funkcję falową dla stanu Blocha

$\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),$

gdzie $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ jest funkcją Blocha o periodyczności takiej samej jak sieć krystaliczna. Wtedy funkcje Wanniera definiujemy jako

$\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),$

gdzie:

$\mathbf {R}$ – dowolny wektor sieci prostej (tzn. istnieje dokładnie jedna funkcja Wanniera dla każdego wektora Bavaisa),

$N$ – liczba komórek prymitywnych w krysztale,

suma po $\mathbf {k}$ przebiega po wszystkich wartościach $\mathbf {k}$ w strefie Brillouina.

Ze względu na to, że wartości $\mathbf {k}$ są rozłożone równomiernie w strefie Brillouina oraz $N$ jest zwykle bardzo dużą liczba suma może zostać przybliżona przez całkę zgodnie z poniższą reguła

$\sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{BZ}d^{3}\mathbf {k} ,$

gdzie $BZ$ oznacza strefę Brillouina o objętości $\Omega .$