Funkcje szybko malejące

Funkcję $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ (lub $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$) nazywamy funkcją szybko malejącą w nieskończoności, jeśli spełnia dwa warunki:

1. $\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),$
2. Dla dowolnych wielowskaźników $\alpha ,\beta$ funkcja $x^{\alpha }\partial ^{\beta }\varphi (x)$ jest ograniczona na $\mathbb {R} ^{n}.$

Drugi warunek można zastąpić warunkiem następującym:

• Dla dowolnego $p=0,1,2,\dots$ i dowolnego wielowskaźnika $\beta$ funkcja $(1+|x|^{2})^{p}\partial ^{\beta }\varphi (x)$ jest ograniczona na $\mathbb {R} ^{n}.$

Funkcje szybko malejące w nieskończoności tworzą przestrzeń wektorową, którą oznaczamy ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Jeśli są to funkcje o wartościach rzeczywistych, to jest to przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb {R} ,$ a jeśli są to funkcje o wartościach zespolonych, to jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych $\mathbb {C} .$

W przestrzeni tej topologia jest określona przez zbieżność ciągu:

Ciąg $\{\varphi _{n}\}\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ jest zbieżny do zera, gdy:

• Dla dowolnych wielowskaźników $\alpha ,\beta$ ciąg $\{x^{\alpha }\partial ^{\beta }\varphi _{n}\}$ jest jednostajnie zbieżny do zera na $\mathbb {R} ^{n}.$

Warunek ten można zastąpić warunkiem następującym:

• Dla dowolnego $p=0,1,2,\dots$ i dowolnego wielowskaźnika $\beta$ ciąg $\{(1+|x|^{2})^{p}\partial ^{\beta }\varphi _{n}\}$ jest jednostajnie zbieżny do zera na $\mathbb {R} ^{n}.$

Własności

• ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).$
• Różniczkowanie jest odwzorowaniem ciągłym ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$
• Jeżeli $1\leqslant q\leqslant \infty ,$ to ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{q}(\mathbb {R} ^{n}).$
• Transformacja Fouriera jest izomorfizmem ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ na siebie.

Bibliografia

• Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993. ISBN 83-01-10864-9.brak strony w książce
• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. T. 1: Functional Analysis. New York, London: Academic Press, 1972.brak strony w książce
• А.Н. Колмогоров, С. В. Фомин: Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 1989. ISBN 5-02-013993-9.brak strony w książce