Grupa kwaternionów

Tablica na dublińskim moście upamiętniająca odkrycie przez Hamiltona grupy kwaternionów.

Grupa kwaternionów – nieabelowa grupa multyplikatywna rzędu 8, oznaczana symbolem $Q_{8}$ lub rzadziej $Q$ lub $Quat$, składająca się z następujących elementów: $\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ będących kwaternionami. Generatorami tej grupy są kwaterniony $i$ oraz $j$.

Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie.

Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej $SL(2,\mathbb {C} )$. Określmy następujące macierze:

${\widehat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\widehat {i}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},{\widehat {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},{\widehat {k}}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$.

Wtedy zbiór $\{{\widehat {1}},-{\widehat {1}},{\widehat {i}},-{\widehat {i}},{\widehat {j}},-{\widehat {j}},{\widehat {k}},-{\widehat {k}}\}$ tworzy grupę $Q_{8}$.

W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya:

$\cdot$	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Podgrupami grupy kwaternionów są $\{1\},$ $\{1,-1\},$ $\{1,-1,i,-i\},$ $\{1,-1,j,-j\},$ $\{1,-1,k,-k\}$ oraz $\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$. Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne.

Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy $Q_{8}$ jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona.

Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego, a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego.