Grupa liniowa homotetii

Grupa linowa homotetii – grupa liniowa (podgrupa pełnej grupy liniowej, czyli grupy ${\text{GL}}(n,\mathbb {K} )$) macierzy postaci $\Bbbk \cdot \mathbb {I} _{n},$ gdzie $\mathbb {I} _{n}$ jest macierzą jednostkową stopnia $n,$ a $\Bbbk \in \mathbb {K} \setminus \{0\}$. Zazwyczaj oznaczana jest symbolem ${\text{H}}(n,\mathbb {K} )$.

Własności

Niech $Z(G)$ oznacza centrum grupy $G.$ Przy tych oznaczeniach zachodzą następujące własności:

• $Z({\text{GL}}(n,\mathbb {K} ))={\text{H}}(n,\mathbb {K} )$;
• $Z({\text{SL}}(n,\mathbb {K} ))={\text{H}}(n,\mathbb {K} )\cap {\text{SL}}(n,\mathbb {K} ),$ gdzie ${\text{SL}}(n,\mathbb {K} )$ jest specjalną grupą liniową;
• $\forall _{n\in \mathbb {N} }\ {\text{H}}(n,\mathbb {K} )\simeq {\text{H}}(1,\mathbb {K} )=\mathbb {K} \setminus \{0\}$.